读“图”教学:让几何直观自然地生长

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在生活节奏越来越快的当下，海量的信息冲击着现代人的阅读方式，人们很难静下心来心平气和地看书，“读图”成了人们乐于接受的接受信息方式，包括静态和动态的图片在我们的生活中显得越来越重要。这里讲的“读图”，是读者对以图形或图像为主体内容的读物的一种阅读喜好。图形可以帮助刻画和描述问题；图形可以帮助发现寻找和解决问题的思路；图形可以帮助表述和记忆一些结果。学生几何直观能力的培养在一定程度上依赖图形教学。

一、 强化图形特点，建立数学现实与抽象图形的联系

表象是几何直观思维的基础元素，学生大脑中的表象越丰富，越容易把抽象的问题转化成直观的表象，也容易从直观的表象抽象出本质特征。所以，当图形成为视觉和直觉的桥梁时，培养学生几何直观能力就水到渠成了。

1.实物直观演示，贯穿视觉思维与直觉思维的通道。通过实物、模型、图形的观察、测量、拼摆、画图、制作、实验等活动或者是适当借助多媒体手段，帮助学生积累丰富的几何表象。例如，苏教版六年级《分类计数》，将棱长为3cm的正方体表面刷上红色的漆，再将其分割成棱长为1cm的小正方体。其中，三面、两面、一面有红色的小正方体各有多少个？通过实物直观演示引导学生分别以正方体的顶点、面、棱长为标准进行分类计数，形成了强烈的视觉印象，使学生通过观察、操作等活动，感受和探索图形的特征，积累图形与几何的活动经验。

2.图形直观操作，强化实物操作与直观表象的体验。对几何形体的研究往往需要学生摆实物、做模型、割补画图等。图形的直观操作分为实物操作和图形操作两种。例如，苏教版四年级《认识三角形》中，教材中运用了多种方式来体验三角形的特征，分别运用了多种操作活动帮学生积累丰富的几何事实，获得对基本平面图形的直观经验。

3.运用图形直观，打通数学概念与符号表征的障碍。利用图形直观理解数学事实。通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程，使学生从算法的相互作用与矛盾中慢慢形成符号表征。例如，认识分数、小数、百分数时，借助正方形分别来表征不同的数，既加深了对数的理解，沟通了数之间的联系，又形象地用图形将数学概念表征出来。

二、 巧用图形优势，实现表象系统与言语系统的转换

几何直观将抽象的数学文字语言与直观的图形语言有机地结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，从而实现表象系统与言语系统的灵活转换，有助于加强对知识的理解，进而促进学生的数学理解。

1.厘清“问”题，培养画图的能力。年龄的局限性让学生对一些抽象度较高、复杂的、难于理解的数学知识的学习存在一定难度。这时，引导学生适时用好图形工具，画一画、想一想，在涂涂抹抹中寻找解决问题的关键点，最终形成属于自己的解决问题思路。例如，苏教版六年级下册第6页习题：2005年我国公布了新的个人收入所得税征收标准，个人月收入1600元以下不征税，月收入超过1600元，超过部分按下面的标准征税。本题中，画图将抽象的数学问题具体化、形象化。教师鼓励学生画图分析和解决问题，尤其是学生不拘格式的个性画图，也有利于学生将用画图思考问题形成一种习惯。

2.看“图”想事，突出思维的过程。当学生将数学问题转化成“图”以后，会利用“图”来叙述原来的问题。借助学生自己画出的“图”，深化数学问题的理解，帮助学生突破问题解决上的难点，以期真正把握问题的实质内涵。例如，苏教版六年级《解决问题的策略》例2：全班42人去划船，一共租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有几只？教材在处理本题时：

（1）先假设 “10只船全是大船”，结合图例可知，一共多坐了8人。而把小船假设成大船，每条船就多坐了2人，用8÷2就可以算出有4条小船，而大船也就是6条。

（2）假设“5条大船和5条小船”，算出总人数是40人，发现比总人数少2人，这时需要怎么办？在反馈过程中，绝大多数的学生都拿出了证据——图例，并在图上作出了调整，少2个人，只要将一只小船换成大船就可以了，从而解决问题。

（3）还可以用什么方法找出答案？小组里交流。在交流时学生都能根据假设的情况作出相应的图例，再去调整大、小船的只数，从而很快解决问题。

3.由“图”说理，突出数学的表达。小学阶段常用的图包括线段图、树图、集合图、示意图等。例如，苏教版四年级《解决问题的策略》中有一道行程问题：小明和小芳同时从家里出发走向学校，两人经过4分钟在校门口相遇，他们两家相距多少米？当学生利用“图”来进行认真思考后，学会将自己的思维过程表达清楚，并努力理解他人的思考方式，期望多种思维方式的融合和碰撞，最终达到突破思维瓶颈的目的。

三、 灵活运用图形，达到图像表征与基本概念的统一

图形的变换和运动是小学数学阶段的主要学习任务，同时变换和运动也是数学学习的一种思想和方法。

1.以基本图形为主，夯实图像表征的基础。几何直观是指利用图形来描述和分析问题，所以应该把掌握、运用基本图形解决问题作为教学任务，贯穿在数学教学和学生学习的始终。所谓基本图形就是几何概念所对应的图形。如直线、角、三角形、长方形、正方形、菱形，圆等。例如，苏教版三年级《认识长方形和正方形》习题中分别安排了2个题目，巩固了长方形和正方形的基本特征以及它们之间的联系，又为学习三角形打下基础，同时为学习图形面积公式埋下伏笔。在教学中要有意识地强化对基本图形的掌握，建立图形的表征，为灵活运用这些基本图形去发现、描述问题打下基础。

2.以图形变换为主，拓宽图像表征的宽度。在小学数学课本中，需要学生掌握的基本图形都是“对称”图形。例如，长方形、正方形、圆等。另一方面，在认识其他图形时，往往是由基本图形变换而来的。例如，图形的平移、旋转、反射等运动，使得“点动成线”、“线动成面”、“面动成体”，半圆以直径为轴旋转可以形成球体，矩形以一边为轴旋转可以成为圆柱体，直角三角形以直角边为轴旋转可以成为锥体等。在教学中，教会学生用变化的观点认识、理解图形是培养学生几何直观的一种途径。

3.启发联想和想象，提升图形表征的高度。联想和想象是拓展学生几何直观思维空间的主渠道，是发展学生几何直观能力的重要手段。例如，苏教版五年级《圆的面积》中，教材中分别将圆分割为16份和64份，把剪开后拼成的图形想象成一个近似的长方形，利用长方形的面积公式来推导出圆的面积公式。在学习过程中，发挥了学生对拼接后图形的想象，同时也强调了基本图形的重要性。

四、 善于构造图形，寻找代数学习与几何学习的平衡

数学家笛卡尔创造了直角坐标系，欧拉将七桥问题转化成“一笔画”的问题来思考。这些都是构造恰当的中介图形，将抽象的代数问题几何化、直观化，再利用几何图形相关性质求解，问题就会直观化、简易化。

1.利用几何图形特征，记忆数学结果。小学阶段学生的几何学习处于非形式化演绎的阶段，学生借助几何直观学习理解数学，是数学学习中的重要方向。甚至可以说，只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。例如，苏教版六年级《平面图形的面积》复习中，利用网络图加深对知识结构的认识。在教学中，引导学生借助几何直观来学习和理解数学，从而有效地触摸到数学的本质，加强学生对数学的理解。

2.抓住问题的几何特征，突破解题难点。日常解题要寻找代数问题的几何特征，既实现了问题形式化的表达，又强调对数学本质的认识。抓住数学本质，打开数学模式或形式化的遮掩，理清解题思路或找到解题方法，实现解题突破和解题优化。例如，如果你是老师，有件紧急事情要通知同学，用打电话的方式，每分钟通知1人，给你3分钟时间，能使多少人收到通知？大胆猜测一下。在教师的帮助下，借助于线段和点这样的基本图形来描述复杂的数量关系，并直观地呈现出来，从而发现一些规律，即一分钟通知一个人，第二次通知的新的人数，是第一次的两倍。

3.避开代数的复杂运算，提升思维深度。借助几何直观，加强数学知识方法的理解，优化解题过程，就能避开代数的复杂运算和繁琐推理。例如，苏教版六年级《解决问题的策略》例1的“试一试”，计算：■+■+■+■。计算时，我们可以构造一个边长为1的正方形（如下图），要计算的正好就是正方形的一部分，这样我们很容易得出计算的结果。

看似没有任何关系的数学问题，转化成一个图形以后，不仅避开了复杂的运算，还提升了思维的深度。