结合物理高考题看轻杆模型
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建立理想化模型，是物理学研究的重要手段.理想化模型就是根据所研究的物理问题的需要，从客观存在的事物中抽象出来的一种简单、近似、直观的模型.
运用物理模型解决实际问题是高考考查的一个重要方面.轻杆是中学物理中常见的一个模型，我们在分析轻杆问题时，一定要把握概念的内涵和外延，能根据不同情况，选用合适规律解决问题，不可不加区别地乱用套用.下面笔者就借助2012年各地高考题对轻杆模型的力学特点作一个分析.
1轻杆模型的作用力特点
例1（2012年山东卷第17题）如图1所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动，在O点悬挂一重物M，将两相同木块m紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止.Ff表示木块与挡板间摩擦力的大小，FN表示木块与挡板间正压力的大小.若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O1、O2始终等高，则
A.Ff变小B.Ff不变C.FN变小D.FN变大
解析把重物M和两木块m看成整体受力分析可得，竖直方向合力为零，木块与挡板间摩擦力2Ff=2mg+Mg，故选项B正确；对结点O受力分析如图2，两杆对O点的作用力均沿杆方向，挡板间的距离稍许增大后，θ角增大，轻杆弹力增大，再对木块受力分析得木块与挡板间正压力等于Mgtanθ2，随θ角增大而增大，故选项D正确.
我们知道，杆既可以发生拉伸或压缩形变，也可以发生弯曲或扭转形变，因此杆的弹力不一定沿杆的方向.我们把“只在两端受力，不计重力、两端可以自由转动的轻杆”称为“二力杆”. 一般情况下，“二力杆”的显著特征是杆的一端或两端用铰链与其他物体相连，杆上不受其它外力作用，铰链处无摩擦.由力的平衡可知其两端所受的合力的大小相等，方向相反，必定沿杆两端连线的方向，否则杆不能平衡.要注意的是二力杆件不一定是直杆，也就是说：若是轻直杆，则沿杆的方向；若是弯曲的轻杆，则沿两端点连线的方向.本题中的两根轻杆都是“二力杆”，故认为杆中力沿杆的方向.
当杆的一端固定时，杆中作用力常不沿杆的方向，具体受力方向，应根据实际情况，运用平衡条件、牛顿第二定律等规律加以分析.如下面一个典型例题.
例2如图3所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ、在斜杆下端固定有质量为m的小球，下列关于杆对球的作用力F的判断中，正确的是
A.小车静止时，F=mgsinθ，方向沿杆向上
B.小车静止时，F=mgcosθ，方向垂直杆向上
C.小车向右以加速度a运动时，一定有F=masinθ
D.小车向左以加速度a运动时，F=（ma）2+（mg）2，方向斜向左上方，与竖直方向的夹角为α=arctan（a/g）
解析小车静止时，由物体的平衡条件知杆对球的作用力方向竖直向上，且大小等于球的重力mg如图4中F1.
当小车具有水平方向加速度时，根据牛顿第二定律，杆对球的作用力竖直分力等于重力，水平分力等于ma，水平分力方向与加速度方向相同，如图4中F2、F3、F4，杆对球的作用力随加速度的变化而变化，答案应为D.
2轻杆模型的速度特点
例3如图5所示，长为l，不可伸长的棒A、B的两端A和B分别沿直角（顶点为C）的两边滑动，B端以速度v做匀速运动，以α表示∠CBA，求：棒A端的运动速度.
解析此题考查杆模型的速度特点，由于所考察的两点间的距离不变，如图6所示，以vA、vB分别表示杆上A、B两点的速度，vA1、vB1分别表示vA和vB沿杆方向的投影，则vA1表示A点相对于B点相互靠近的速度，而vB1则表示B点相对于A点相互远离的速度，显然此两者相等.即杆上任意两点的速度沿其自身方向上的投影值相等（速度投影定理）.棒A端沿AC方向运动，其速度vA满足vAcos（90°-α）=vcosα，所以vA=vcotα.
需要指出的是，此速度特点与是否考虑的杆的质量并无关系，2012年江苏高考题则从“轻”字入手，考查了轻杆的另一速度特点.
例4（2012年江苏卷第14题）某缓冲装置的理想模型如图7所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为f，轻杆向右移动不超过l时，装置可安全工作.一质量为m的小车若以速度v0撞击弹簧，将导致轻杆向右移动l/4.轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦.
（1）若弹簧的劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x；
（2）求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度vm；
（3）讨论在装置安全工作时，该小车弹回速度v′和撞击速度v的关系.
解析（1）轻杆开始移动时，弹簧的弹力F=kx且F=f解得x=fk；对于第2个问题，不少考生甚至老师都是这么思考的：小车压缩弹簧到弹力等于滑动摩擦力时，轻杆开始向右运动，因为小车速度大于杆的速度，所以弹簧还得压缩，杆受弹簧弹力将大于摩擦力，当杆与小车速度相等时，弹簧最短，此后小车继续减速，而杆再加速，当弹簧弹力再次与摩擦力相等时，杆速度最大，此时小车可能还具有向右的速度，也可能已经反弹向左运动，之后杆再减速直至停止.若小车撞击的初速度v0不同，杆最终停止运动时，弹簧的末状态也不同，此题将无法解答，陷入困境.
究其原因，把模型弄错了，忽视了“轻杆的质量不计”这个隐含条件，定势思维，运用力与运动关系去分析问题，从而陷入困境.其实，小车压缩弹簧到弹力等于滑动摩擦力时，由于不计轻杆质量，其运动状态极易改变，轻杆瞬间与小车速度相同，之后弹簧保持压缩量x=fk不变，小车、弹簧、轻杆整体向右匀减速，速度为零时，轻杆移动到最大值.基于以上分析，第2问解答如下：设轻杆移动前小车对弹簧所做的功为W，则小车从撞击到停止的过程中，由动能定理得：小车以v0撞击弹簧时
-f・l4-W=0-12mv20；
小车以vm撞击弹簧时-fl-W=0-12mv2m，
解得vm=v20+3fl2m.
第3问解答略.
3轻杆模型的做功特点
例5如图8，一轻杆在竖直面内做圆周运动，不计一切摩擦阻力，轻杆对小球做不做功？在任意位置，杆对小球的力都沿杆的方向吗？为什么？
解析在轴心没有摩擦的情况下，杆只能是二力杆，这是因为如果杆受到小球给的切向力，那么杆就会做加速运动，而杆质量为零，由牛顿第二定律知：切向力必为零.即杆受到的力沿杆的方向，始终垂直于小球运动方向，是不做功的，小球机械能守恒，注意：杆质量不计以及圆心光滑是关键，否则杆中力不一定沿杆且杆对球做功.当然，判定机械能是否守恒最简单的方法还是根据机械能守恒的条件：看有无其它非保守系统对此系统做功，即除重力、弹力以外的力对系统做功.如果细杆的轴心不光滑，则细杆在转动过程中，内轴将对细杆有一个横向的、阻碍细杆转动的作用力，将会对小球做负功，小球的机械能将减小；如果有动力做功，系统的机械能将会增大.
如果过程是一个轻质细杆上系有两个或两个以上的小球，绕一固定点在竖直面内无摩擦转动，情况就与上面就不同了，因为这两个小球有质量，每一个小球可以对细杆有作用力，细杆也可以对每一个小球产生作用力，则每一个小球的机械能很可能都不守恒，但由于系统外没有对这个系统做功，即没有任何形式的能量传递给这个系统、这个系统的能量也没有传递给外界，因此，这个系统的总的机械能还是守恒的.
例6如图9所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放摆下.求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？
解析此题情境易使学生误认为杆中作用力沿杆方向，力与速度方向始终垂直，杆对A球以及对B球做功均为零.究其原因，片面认为只要杆的一端安装有铰链，杆中力必沿杆的方向.其实，此时并不满足“二力杆”的条件.应选轻杆、A球、B球为一系统，该系统机械能守恒，由于轻杆质量为零，故不考虑其动能和重力势能，注意到A、B两球共轴转动，角速度相等，则vB=2vA，机械能守恒定律得
mgL+mgL2=12mv2A+12mv2B，
可解出vA和vB，再利用动能定理可分别求杆对A球以及杆对B球做的功.
综上所述，轻杆具有以下特点：轻杆的质量忽略不计，其运动状态极易改变.轻杆是硬的，能产生侧向力.它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长或压缩.在不同情况下，考查轻杆的作用力特点、速度特点、做功特点，这时就需要学生能够甄别出来，把握概念的内涵和外延，选用合适的规律解决问题.