探究性学习深入浙江高考试题

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在新教材的改革中探究性学习正如火如荼地进行着，让探究性学习走进教学课堂是必然趋势，从而使得探究性的学习深入高考试题的趋势不可阻挡．2008年的数学高考试题较多的体现了探究性学习的必备思想，这一点正是我们学生所欠缺，急需平时培养的．下面笔者从探究性学习实施的必备思想来看一看在2008年数学高考中渗透．

1 归纳、猜想思想的深入

例1 （2008年浙江理22）已知数列{an},

an≥0,a1=0,a2n+1+an+1-1=a2n (n∈N*)．

记Sn=a1+a2+…+an，

Tn=11+a1+1(1+a1)(1+a2)+…+1(1+a1)(1+a2)…(1+an)．

求证：当n∈N*时，(Ⅰ) an≤an+1;

(Ⅱ) Sn＞n-2; (Ⅲ) Tn＜3.

(Ⅰ) 证明分析：由a1算出a2=5-12，

得 a1＜a2成立．

假设 n=k时有ak＜ak+1，要证 n=k+1时ak+1＜ak+1+1，

即 a2k+1＜a2k+1+1， 又 a2k+1-a2k+1+1=ak+2-1，

即 ak+2＜1猜想 an＜1．

下面用数学归纳法证：an＜1.

关键：假设n=k时有 ak＜1，则 n=k+1时 a2k+1+ak+1-1=a2k，

a2k+1+ak+1-2=a2k-1＜0得 -2＜ak+1＜1，又 an≥0得 0≤an＜1，从而上面得证．

或法2：由an≥0， a2n+1+an+1-1=a2n，

得an+1=4a2n+5-12．

当n=1时，a2=5-12＞0=a1成立；

设当n=k时，ak+1＞ak成立，则 ak+2=4a2k+1+5-12＞4a2k+5-12=ak+1．

所以当n=k+1时，a(k+1)+1＞ak+1成立，

即当n∈N+时，an＜an+1;

(Ⅱ) (Ⅲ) 略．

评注：提出问题是探究性学习的第一步，提出问题的关键在于能否进行归纳，大胆的猜想，英国数学家休厄尔有句名言：“若无某种大胆的猜测，一般是作不出知识的进展．”很明确问题提出的必备思想：归纳、猜想．上一题归纳法一中蕴含着归纳法，要求较高，更需要大胆的猜想．

2 等价转化思想的深入

图1

例2 （2008年浙江理17）若a≥0,b≥0，且当x≥0,y≥0,x+y≤1时，恒有ax+by≤1，则以a,b为坐标点P（a,b)所形成的平面区域的面积等于．

解析：ax+by≤1即 y≤-abx+1b恒成立，由题结合图形1

问题1b≥1-ab≥0-1b1-0

a≥0b≥0b≤1a≤1a≥0b≥0易得S=1．

评注：问题的探求是探究性学习的第二步，某些问题直接入手较困难时往往考虑问题是否能等价转化，转化为较易入手的简单命题．上例通过等价转化使得问题迎刃而解，所以在探求过程中等价转化思想必不可少．

3 分类讨论思想的深入

例3 （2008浙江理21）已知a是实数，函数f(x)=x(x-a).

(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ） 设g(a)为f(x)在区间［0,2］上的最小值．（i) 写出g(a)的表达式；

（ii) 求a的取值范围，使得-6≤g(a)≤-2.

解析：（Ⅰ) f′(x)=3x-a2x结合定义域

{x|x≥0}；

当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)单调递增区间为［0,+∞)．

当a＞0时，f(x)单调递增区间为［a3,+∞)，单调递减区间为［0,a3］．

（Ⅱ) 由（Ⅰ)知，当a≤0时，g(a)=f(0)=0，当0＜a3＜2时即0＜a＜6时,g(a)=f(a3)=-2a3a3，

当a3≥2时即a≥6时g(a)=f(2)=

2(2-a)．综上所述：

(i) g(a)=0,a≤0-2a3a3,0＜a＜62(2-a),a≥6

(ii) 分类解不等式得 3≤a≤2+32．

评注：分类讨论思想在探究性学习中也是必备的重要思想方法之一．特别是对某些较复杂问题的探求时需分类处理，严密合理的分类是学生较为欠缺的，特别是不重不漏对学生较为困难．上例试题中就很隐蔽的渗透着分类讨论的思想，第二小题可以类比二次函数的最值问题，但也有一定区分，学生很难提取正确解答．

4 数形结合思想的深入

例4 （1） （2008浙江理9）已知a，b

图2

是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)・（b-c)=0，则|c|的最大值是（）．

（A） 1（B） 2

（C） 2 （D） 22

解析：(a-c)・(b-c)=0，即 (a-c)(b-c)．

由图2可知，C落在以AB为直径的圆周上即可，故|c|的最大值即圆的直径为2．

（2） （2008浙江理15）如图3，已知t为常数，函数y=|x2-2x-t|在区间［0,3］上的最大值为2，则t=．

图3

解析：函数图像有上面三种形式，又区间［0,3］和对称轴为x=1得函数最大值定在x=1或x=3时取得，故代入得t=1,-3,5，随后用具体函数图经检验得t=1．

评注：以上两题较好的考查了学生数形结合的思想．老教材教学中我们对数形结合的思想教学中挖掘较少，而在新教材的探究性学习中数形结合要求较高，因为数学本身就是数与形的一个结合体，通过数形结合可使某些问题直观形象化，对学生数形结合思想的培养也是探究性学习中的当务之急．

5 构造思想的深入

例5 （2008年浙江理10）如图4，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）．

（A） 圆（B） 椭圆

（C） 一条直线 （D） 两条平行直线

图4

图5

解析：如图5，由ABP的面积为定值可知，点P到直线AB的距离相等，于是构造圆柱AO，用不平行底面的平面α去截交AO于B点，则点P轨迹即为平面α与圆柱侧面的交线，即椭圆．

（2） （2008浙江理14）如图6，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，则球O点体积等于．

图6

图7

解析：如图7，由DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，构造球内接正方体CD，则球直径即AC长，2R=3，则V=9π2．

评注：以上两例通过构造建模使得问题简化易答，构造建模在探究性学习中也必不可少，因为它往往根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它认识与解决原问题的一种思想方法．“构造与建模”是一种重要而灵活的思维方式，它没有固定的模式．要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构造、创造性的思维等能力，这也是当今所需人才急需培养的．

6 反向探究思想的深入

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例6 例1第（Ⅲ)小题．

解析：此类试题形如竞赛试题，一般思路是通过放缩成等比数列求和或裂项相消求和加以解决．

由（Ⅰ) 可得 0≤an＜1,

则 (1+a1)(1+a2)…(1+an)＞(1+a2)n-1，则

1(1+a1)(1+a2)…(1+an)＜1(1+a2)n-1,

又 11+a1=1,

故 Tn=11+a1+1(1+a1)(1+a2)+…+1(1+a1)(1+a2)…(1+an)≤1+11+a2+1(1+a2)2+…+1(1+a2)n-1,

1+11+a2+1(1+a2)2+…+1(1+a2)n-1=1-(11+a2)n1-11+a2=11-11+a2-(11+a2)n1-11+a2＜11-11+a2. 由 11-23=3，

故即证 11-11+a2＜11-23=3，即证a2＞12，有（Ⅰ)解得 a2=5-12＞12成立，即证得原命题成立．

评注：在探究的过程中，正难则反的思维也必不可少，上例在放缩到1+11+a2+1(1+a2)2+…+1(1+a2)n-1=1-(11+a2)n1-11+a2=11-11+a2-(11+a2)n1-11+a2＜11-11+a2后应用了反向思维恰到好处．此小题优秀学生失分相当高，真正起到了压轴的作用，这其实也是我们平时较少训练培养反向思维的缘故吧．

7 笔者领悟

探究性学习，是一种在好奇心驱使下、以问题为导向、学生有高度智力投入且内容和形式都十分丰富的学习活动．是根据青少年身心特点提出的学习方法；是培养现代公民和创新人才的需要；是数学教学改革和研究的重要课题；是探索性学习和研究性学习的整合．2008年的浙江卷试题，因为探究性学习的深入而漂亮，又较好的与新教材实施相衔接．笔者在新教材探究性学习的教学中，正探索着探究性思维的如何培养，着重需要培养哪些思维？笔者较深的体会是：给学生一个空间，让他们自己往前走；给学生一个条件，让他们自己去锻炼；给学生一个时间，让他们自己去安排；给学生一个问题，让他们自己去找答案；给学生一个机遇，让他们自己去抓住；给学生一个冲突，让他们自己去讨论；给学生一个权利，让他们自己去选择；给学生一个题目，让他们自己去创造．而2008年试题又为我们指明了方向，坚定了将探究进行到底的决心．

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