解直角三角形应用题的解法研究

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇解直角三角形应用题的解法研究范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘要：测量、航海是解直角三角形应用的一种题型，研究这种题型的基本图形和解法，然后从这一类题型中提炼出基本图形和解题方法，将这一基本图形和解题方法推广到相同类型和变式题中，能提高学生的解题速度和思维能力。

关键词：解直角三角形；解法；教师；学生

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)06-0153

测量、航海等应用题是解直角三角形应用的重点，也是历年中考的热点。解答这类问题主要是把实际问题转化为解直角三角形问题，即画出正确的示意图，添加必要的辅助线，将实际问题中的数量关系，转化为直角三角形中各元素之间的关系，利用已学过图形的性质来解决。由于此类题目除了涉及直角三角形中各元素之间的关系外，还有辅助线的添加，方程、转化思想的渗透等，学生单独解题常感到有一定的困难。为了解决这个问题，笔者对这类题目进行了研究，构造这类题的基本图形和解题方法的“模型”，再用这“模型”解决此类问题，就能提高学生的思维速度和解题速度。下面，笔者从教材和近年来的一些中考题中选出部分题目进行简单举例说明。

一、基本图形（一）

人教版九年级下册教材第28章《解直角三角形》中出现有两个例题：

(课本88页) 例4：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）

解题分析：由于铅垂线与水平线互相垂直，所以ADBC，得到两个有公共边的直角三角形，在RtABD中，已知α=30°，AD=120°，可以利用锐角三角函数的知识求出BD；类似地在RTACD中，已知β=60°，AD=120°，利用锐角三角函数知识可以求出CD，进而求出BC。

(课本89页)例5：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处。这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(结果保留小数点后一位)？

解题分析：由于东西方向与南北方向互相垂直，所以PCAB，得到两个有公共边的直角三角形，在RtAPC中，可求∠APC=90°-65°=25°，已知AP=80，利用锐角三角函数的知识求出公共边PC；然后在RtBPC中利用利用锐角三角函数的知识求出边PB。

点评：解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学问题，将实际问题的图形转化为数学的几何图形，把实际问题中的数量关系，转化为几何图形元素间的关系。通过分析例4、例5可以发现，这两道例题都有共同的特点，即可以抽象出同一个基本图形：一个三角形一边上的高将三角形分成两个直角三角形(如图)。相同的问题模式：已知两个直角三角形中的一些边、角元素，求三角形中其它的边。解题思路相同：都是同时（例4中可同时用解直角三角形的方法求BD和CD的长）或依次(例5中先在一个直角三角形中求出公共边，然后在另一个直角三角形中求出一边的长)利用锐角三角函数的方法求三角形的边长，进而求出题目的解。它们不同的地方是问题情境不同：例4是利用热气球测量楼高的问题，涉及到仰角和俯角；例5是航海问题，涉及到方位角，但它们的问题本质是一样的。像这类有着相同的基本图形，相同的问题模式和解题方法，不同的情境的题目在教材的习题中以及近年的中考题中很常见。如果学生能掌握这一图形的基本特征以及解题方法，学生的思维速度和解题速度将得到很大的提高。在教学中将基本图形进行总结归纳以后，进行变式训练，让学生体会总结基本图形和基本解题方法带来的便捷，和多题一解的魅力，提高学生解题能力。

特地设计如下变式题训练：

变式：(2010年柳州市中考题)如图，从热气球P上测得两建筑物A、B的底部的俯角分别为45°和30°，A、B两建筑物的距离为90m，P点在地面上的正投影恰好落在线段AB上。求热气球P的高度。(结果精确到0.01m；参考数据：■≈1 .732 ，■≈1 .414)

解题分析：过P点作PCAB交AB于点C，∠APC=90°-45°=45°，∠BPC=90°-30°=60°，设PC为xm，则AC=PC=xm，BC=AB-AC=(90-x)m，根据tan∠BPC=■，得方程■=■，解出方程，检验即可。

点评：这是例4的改编题，改变了测量对象，已知线段和所求线段刚好互换。通过作辅助线就可以向基本图形(一)转化，解题时除了用锐角三角函数表达一些直角三角形的边长以外，还可用适当的锐角三角函数作为等量关系列方程、解方程，近而得到问题的解(这是解直角三角形问题的一种常用方法)。本题是例4的深化和拓展，不仅图形发生改变(通过旋转得到)，还渗透了转化、方程思想，培养学生的空间观念，让学生在变化中找出熟悉的基本图形，利用基本图形的解题模式进行解题，提高了学生的聚合思维。

二、基本图形(二)

(课本89页练习1)：建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）

解题分析：在RTBCD中，由∠BDC=45°可得BC=DC=40m，在RTACD中，用正切函数即可求出AC，则AB=AC-BC。

点评：这道题仍是以测量作为背景，但图形相对于基本图形(一)来说有很大的变化，基本图形(一)是有公共直角边，没有公共直角的两个直角三角形，而这题抽象出的图形有一公共直角和一公共直角边的两个直角三角形，我们将其称之为基本图形(二)(如图)。两者的共同点是都出现两个直角三角形(或一个三角形的一高将三角形分为两个较小的直角三角形)。分析本题的解题思路，发现它的解法于例4相同，可以把它们称为同一模式下的两个图形。也可设计如下变式训练：

变式：(2012 湖南省娄底市) 如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，■≈1.732）.

解题分析：根据题意可得∠ADF=30°，∠FAD=30°FD=FA=8.在RtAFG中根据正弦函数即可求出AG，AG+BG=AB。

简析：本题解法和基本图形与变式（一）相同，只是增加了由矩形对边相等得到的线段相等，综合性增加了，训练了学生的思维能力。

类似上述题目能提炼出基本图形(一)、（二），通过改变问题情境，达到多题一解的题目，训练学生思维的题目还很多。在教学过程中，需要教师不断培养学生挖掘、提炼、总结基本图形，使学生将复杂问题简单化，在较短的时间内抓住问题的实质，达到“做一题，通一类、会一片”的效果，从而提高学生的思维能力。