利用构造法巧解高中数学问题
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摘 要：构造法，即构造出使用公式或定理的条件，或对所解题目赋于几何意义，或构造出题目所满足的条件的具体事例（它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等）来验证结论的正确性或结论等手段来解题的方法，若在解题时能灵活运用，可收到事半功倍的效果。本文将结合几个典型的例题谈一谈用构造法解题的规律，以此抛砖引玉。
中图分类号：G630文献标识码：A文章编号：1003-2851（2011）04-0124-01
一、数形结合，构造几何意义
例１.求函数y=的值域.
分析：联想斜率公式为k=，不妨把函数y理解为过定点Ｐ(2,１)和动点Ｑ(cosx,sinx)的直线Ｌ的斜率k的取值范围.而点Ｑ又在圆Ｃ：x2+y2=1上，设直线Ｌ的方程为：y－１=k(x－2)，直线Ｌ与圆Ｃ有公共点，由x2+y2=1y－１=k(x－2)消去y得：
(1+k2)x2+(2k-4k2)x+(4k2-4k)=0，再由
＝(2k-4k2)2-4(1+k2)(4k-4k2)≥0
解得:0≤k≤，所以函数的值域为(0,)
例２.求函数y=+的最小值.
分析：联想两点间距离公式，可将函数变形y=+，理解为Ｍ(x，0)与Ａ(1，2)和Ｂ(3，－2)的距离之和.又点Ｍ是x轴上一动点，也即在x轴上找一点Ｍ使Ｍ与Ａ的距离和Ｍ与Ｂ的距离之和最小值。点Ａ和Ｂ分别在x轴的上、下两侧，连ＡＢ与x轴交点即为Ｍ，ＡＢ间距离就是函数的最小值，为+=2
注1、要灵活运用数形结合的方法，必须对解析几何中的公式及其各种变形有相当深刻的认识，也要对所求解的问题的数、式、形等特征有比较准确的把握. 敢于联想，善于联想是构造法的关键.
二、构造均值不等式
例3．求函数y=sin2xcosx的最大值
分析：是乘积的形式，不难想到用基本不等式，可变形为y=2sinxcos2x＝2(1－sin2x)sinx，式中两个x的余弦项一个是二次，另一个是一次，其和不是定值，再变形
y=2=3=
例4．已知a、b∈Ｒ＋，且a+b=1，求+的最大值.
分析：可将理解为，其中m=a+，n=1，
所以有≤；同理≤，
两式相加得+≤
注2：正确使用不等式求最值的关健是构造即凑定值（各项的和或积是定值），所用技巧一般有乘以一个常数、开平方（或开立方）再平方（或再立方），例3便是一典型例子；等号成立，既是正确解题的基础，也是分析问题的突破口。
三、构造方程与函数
例5．已知(z－x)2－4(x－y)(y－z)=0，求证x，y，z成等差数列.
分析：由已知可知，关于t的方程(x－y)t2+(z－x)t+(y－z)=0有两个相等的实根，易验证t１=t2=1是方程的根.由韦达定理
1=t１・t2即x－y＝y－z，也即x，y，z成等差数列.
例6．已知：(x+2y)5+x5+2x+2y=0，求x+y的值。
分析：所给条件是一个二元五次方程，显然不可能把x、y解出来，可在整体上处理所给条件为：(x+2y)5+(x+2y)=-(x5+x)……（＊），令f(t)=t5+t，则f(x+2y)=－f(x)又函数f(t)满足 f(－t)=－f(t)，所以f(x+2y)=f(－x)，又f(t)是单调递增函数，所以有x+2y=－x，即x+y=0
四、构造几何图形
例7．记f(x)=，a>b>0，则|f(a)-f(b)|
分析：构造矩形ABCD,F在CD上，
使|AB|=a,|DF|=b,|AD|=1,则|AC|-|AF|
注3：构造图形可使抽象问题直观、形象，从而得到简捷的解法， 构造图形包括构造平面图形和空间图形。
五、构造递推数列
例9．平面上有100个椭圆，其中每两个椭圆都相交于4个点，而任何三个椭圆不通过同一点，问这n个椭圆将平面分成了几部分？
分析：先将问一般化：n个平面将空间分成了几部分？当n=1时，一个椭圆把空间分成了两部分，每增加一个椭圆，这个新增加的椭圆与前n－1个椭圆共有4（n－1）个交点，即第n个椭圆被这些交点分为4（n－1）条弧，而每一条弧将原有区域一分为二，故增加了4（n－1）部分.设n个平面将空间分an部分，则构成一数列，记作{an}，满足：a1=1，an+1=an+4(n－1)，an=a1+(ak+ak-1)=2n2-2n+2(n≥1)，
所以a100=2×1002－2×100+2=19802，即100个椭圆将空间分成了19802部分.
注4、构造递推数列法是解决与自然数有关的命题的常用方法，有必要认真掌握.
构造法是一种方法，也是一种思维方式。用构造法解题的过程也是创造性地解决问题的过程，未来的工作需要创新，创新需要有意识地培养和锻炼创新的思维，有意识地使用构造法解决问题有助于形成良好的创新思维。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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