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等比数列{an}的前n项和公式的推导,教材中采用“错位相减法”,这一方法简约而又直观,是公式获得的理想推导形式.其实对于等比数列的前n项和公式的推导我们还可以通过数列的结构特征,从不同的角度入手,用不同的方法进行推导,笔者尝试用以下八种方法对等比数列(公比不等于1)的前n项和公式进行推导.
一、“错位相减法”求和
解法1:Sn=a1+a2+a3+…+an,
当q=1时,Sn=na1,
当q≠1时,qSn=a2+a3+…+an+an+1,
两式相减可得(1-q)Sn=a1-an+1.
因为数列{an}为等比数列,所以
an+1=a1qn,
所以有Sn=a1-a1qn1-q.
综上,Sn=
na1 (q=1),
a1(1-qn)1-q (q≠1)
.
二、“方程的思想”求值
解法2:Sn=
a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+
a2q+…+an-1q,
所以Sn=a1+(a1+a2+…+an-1)q=a1+(Sn-an)q
即(1-q)Sn=a1-an+1.
下同法1.
解法3:因为a2a1
=a3a2=…=
anan-1=q,则
a2+a3+…an
a1+a2+…+an-1
=q,
即
Sn-a1Sn-an=q,解得
(1-q)Sn=a1-an+1.
下同法1.
三、利用“公式”求值
解法4:当q≠1时,
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1
=a1(1+q+q2+…+qn-1)
=a11-q
(1-q)(1+q+q2+…+qn-1)
=a11-q(1-qn).
四、“逐项相加法”求和
解法5:Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,
所以
Sna1
=1+q+q2+…+qn-1.
当q≠1时,
-11-q+Sn
a1=-11-q
+1+q+q2+…+qn-1
=(-11-q+1)+q+q2+…+qn-1
=(-q1-q+q)+q2+…+qn-1
=(-q21-q+q2)+q3+…+qn-1=…
=-qn-11-q+
qn-1=-qn1-q,
所以Sn=a1(1q-1-qnq-1)=
a1(1-qn)1-q.
五、“裂项相消法”求和
解法6:设等比数列{an}的公比为q,
当q≠1时,由
qk-1
=qk-qk-1q-1,
Sn=∑nk=1
ak=∑nk=1a1qk-1
=a1∑nk=1
qk-qk-1q-1
=a1q-1
∑nk=1
(qk-qk-1)=
a1(1-qn)
1-q.
六、“构造新数列”求值
解法7:
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,
Sn+1=a1+a1q+a1q2+…+a1qn,
Sn+1-a1=q(a1+a1q+a1q2+…+
a1qn-1)=qSn,
所以Sn+1=qSn+a1.
当q≠1时,Sn+1+a1q-1
=q(Sn+a1q-1).
所以数列
{Sn+a1q-1}
是以首项为S1+a1q-1,公比为q的等比数列,
Sn+
a1q-1
=(S1+a1q-1)qn-1
=a1qnq-1,
所以Sn=a1qnq-1
-a1q-1
=a1(1-qn)1-q.