利用不等式“”解决高考压轴题

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【摘 要】“”这一结论频繁地出现在与导数相关的各种教辅材料中，可以说学生很熟悉这个不等式的结论和证明过程，但是大多数人可能仅仅把它当成是一道练习题，殊不知，就是这样一个看似不起眼的结论，却撑起了近5年高考理科数学导数试题（压轴题）的半边天，所以本文的主要内容就是：分析近几年高考导数试题，诱发新的解题线索，提供高效而实用的解题方案，最后给出2013年全国理科数学新课标卷第21题的一种新解法。

【关键词】压轴题；参数取值范围；数列不等式

命题1.

可以从两个角度证明这个命题。

角度1. 构造函数

证明：设，则

令=0，解得，

则当时，，单调递减；

则当时，，单调递增；

于是由单调性可知， 极小，

即。

角度2.数形结合

在同一坐标平面内作出两个函数的图象，如下图所示，证完！

由上图可知，这个不等式实际上反映的是曲线和其图象上的点处的切线图形的高低关系。

于是这里得到，

定理.，当且仅当时取等号。

由上面的定理可以立即得到，

推论1.

证明：让我们换一套思路证明它，

，则 ，

根据牛顿-莱布尼茨公式可得，证完！

这里要点明，这个结论实际上在高等数学中是显然的，根据函数的幂级数展开可得，

。

推论2. ，当且仅当时取等号。

证明：由定理可得，，两边同时取以为底的对数得，

，当且仅当时取等号。

推论3. .

证明：，

则，

化简可得推论3.

接下来就是高考试题的分析。

例1.（节选自2010年全国理科数学Ⅱ卷第22题）

设函数.

求证：当时，。

证明：欲证 当时，，只须证明：

，即，也即，得证。

例2.（节选自2013年辽宁理科数学卷第21题）

已知函数

求证：当时，.

证明：事实上，等价于证明，也即.

例3.（节选自2010年理科数学新课标卷第21题）

设函数，

当时，求实数的取值范围。

解：由推论1可知，满足条件，于是当时均满足条件，事实上，当时，，故当时，此时函数单调递减，有从而函数单调递减，所以，这和题目条件矛盾，综上，。

这里顺便指出，利用这道题的结论可以轻松断定2012年辽宁理科数学高考第12题的A选项是错误的，从而我们也能感受到高考试题的延续性。

例4.（节选自2011年湖北省理科数学卷第21题）

设均为正数，证明：

若 则。

证明：欲证，只须证，

即 ①

事实上，根据题意即推论2可知，

，带到①式左边可得，

=证完。

例5.（节选自2010年湖北省理科数学卷21题）

求证：

证明：由推论3知：； 且

当；

令 有

所以，

将这个同向不等式相加并整理即可得：

证完。

下面给出2013年全国新课标卷第21题的一种新解法。

例6.已知函数

当时，求证：.

证明：很明显，，若记，则只须证明即可，事实上，由推论2，知，

，设，由定理可知成立，但上述等号无法同时取得，综上，利用“>”的传递性可得，当时，. 证完！

上面的各个例题告诉我们，不等式“”及其推论在高考试卷中的应用是广泛而重要的，能灵活地运用这些结论对快速高效地解决高考导数大题意义深远，另外，通过分析高考试题，我们也可以得到一个结论：看似纷繁芜杂的导数试题中其实蕴含着相同的考察内容，遵循本文给出的解题线索，你一定能拥有针对性很强的解题意识，在高考压轴题的海洋中遨游。