浅析导数的应用

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【摘要】 导数是微分学中最基本的概念，本文通过利用导数求切线方程、利用导数分析函数的单调性、利用导数求函数的极值、利用导数求函数的最值、利用导数分析函数的凹凸性等方面的应用，说明导数的重要性。

【关键词】导数；单调性；凹凸性；拐点

导数是进一步学习数学和其他自然科学的基础，是现代科学技术研究必不可少的工具。导数反映了函数随自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，它使人们能够用数学工具描述事物变化的快慢及解决与之相关的问题。

一、利用导数求切线方程

导数的几何意义是，曲线 在点 处的切线斜率，即

例1

求曲线 在点（1，2）处的切线斜率，并写出该点处的切线方程与法线方程。

解：所求的切线斜率为 。由于 ，于是 。

所求的切线方程为 ，即

所求法线方程的斜率为

所求的法线方程为 ，即

二、利用导数分析函数的单调性

函数单调性的判定法：设函数 在区间 上连续，在 内可导。

（1）如果在 内 ＞0，那么函数 在 上单调增加；

（2）如果在 内 ＜0，那么函数 在 上单调减少

例2讨论函数 的单调性

解：（1）函数的定义域为

（2）

（3）令 得 ，这两点把定义域区间分为 ， ， ， 四部分。

由此可知，在区间 和 内函数 单调增加，在区间 和 内单调减少。

注：导数等于零的点和导数不存在的点可能是函数单调区间的分界点

求函数的单调性的一般步骤为：

（1）确定函数的定义域

（2）求出使函数 或 不存在的点，并以这些点为分界点，将函数定义域分为若干子区间。

（3）确定 在各个子区间的符号，进而确定 的单调区间。

三、利用导数的性质证明不等式

例3 证明：当 ＞0时， ＞

证明：设 ，则

当 ＞0时， ＞0，所以 为单调增加，又因为 ，故当 ＞0时， ＞ ，即 ＞0

因此＞

注：当不等式不能做差或作商是可以用导数的性质来解决。

四、利用导数求函数的极限

在求函数 极限时常会遇到两个函数 ， 都是无穷小或都是无穷大的情况，即“ ”，“ ”型的极限，这类极限不能直接用四则运算法则求极限，那么可以用洛必达法则来求其极限。

洛必达法则：若函数 ， 满足

（1） ，

（2）在点 的某个去心邻域内 ， 存在，且 ≠0

（3） 存在或无穷大

则极限 存在（或为无穷大），且 =

注：当 换为 时，定理仍然成立

例4 求

解：这是 型未定式

= =

例5求

解：这是 型未定式

= = =0

五、利用导数求函数的极值

极值判定法：设函数 在点 处连续，且在点 的某个邻域内可导（点 除外），若在该邻域内

（1）当 ＜ 时，有 ＞0；当 ＞ 时，有 ＜0，则函数 在点 处有极大值 ， 为 的极大值点；

（2）当 ＜ 时，有 ＜0；当 ＞ 时，有 ＞0，则函数 在点 处有极小值 ， 为 的极小值点；

（3）若在点 的左右两侧近旁， 的符号相同，则函数 在点 处没有极值。

例6求函数 的极值点与极值

解：（1）函数 的定义域为

（2） ，令 ，得 ，

， 将函数 的定义域 分为3个子区间，在每个子区间内讨论 的符号。

（3）列表讨论如下

（4）由表可见， 为函数的极大点， 为函数的极大值； 为函数的极小点， 为函数的极小值。

由此题可知求函数 极值点和极值的一般步骤：

（1）确定函数 的定义域

（2）求出导数 ，并求出函数 的全部驻点和不可导的点

（3）列表讨论 在上述各点近旁的符号

（4）判定函数 的极值点，并求出函数的极值

六、利用导数求函数的最值

设 在 内的驻点为 ， ，…， ，则比较 ， ，…， ， 的大小，其中最大的便是 在 上的最大值，最小的便是 在 上的最小值。

例7求函数 在 上的最大值与最小值

解：

解方程 ，得到 ， ，由于

比较可得 在 取得它在 上的最大值 ，在 取得它在 上的最小值

七、利用导数研究函数的凹凸性与拐点

定理：设函数 在 上连续，在 内具有一阶和二阶导数，那么

（1）若在 内 ＞0，则 在 上的图形是凹的；

（2）若在 内 ＜0，则 在 上的图形是凸的.

例8求曲线 的拐点坐标及凹凸区间.

解：（1）函数 的定义域为

（2） ，

令 ，即 ，解得 ， .

从而 ， 把定义域区间分为3个区间： ， ，

（3）列表讨论曲线的凹凸性和拐点

由上表可知，曲线在区间 ， 内是凹的，在区间 内是凸的。曲线的拐点坐标为 ，

求曲线 凹凸区间及拐点坐标的一般步骤为：

（1）确定函数 的定义域；

（2）求出函数 的二阶导数 ，解出 =0的全部实根，并求出二阶导数 不存在的点；

（3）判断上述各点两侧 是否异号，如果 在点 的两侧异号，则点（ ， ）是曲线 的拐点；如果 在点 的两侧同号，则点（ ， ）不是曲线 的拐点。

八、导数在经济分析中的应用

（一）边际分析

边际概念是经济学中的一个重要概念，一般指经济函数的变化率。经济函数的导数，反映的是这个经济现象的瞬时变化率，可以近似的描述该经济函数的边际。

1、边际成本

设总成本函数为 ，其导数 称作边际成本，记作MC。它表明在生产或购销中，产量或购销量在Q水平上再增加一个单位引起的成本的改变量 。

2、边际收入和边际利润

设某产品的总收入函数为 ,称其导数 为边际收入，记作MR.。

设某产品的总利润函数为 ,称其导数 为边际利润，记作ML.。

例9设某产品的总成本函数和收入函数分别为

，

其中，Q为该产品的销售量。试求

（1）该产品的边际成本、边际收入和边际利润

（2）生产50个单位产品时平均单位成本和边际成本本值

解：（1）边际成本为

边际收入为

利润函数为

则边际利润为

(2) 时的平均单位成本为 ， 是的边际成本为

这表示生产第50个或第51个单位产品时所追加的成本为17.5

（二）、弹性分析

若函数 在点 处可导，则 的值称为函数 在点 处的弹性，记作 。

函数 在点 处的弹性 反映了当自变量 变化1%时，函数 变化的百分数为

若需求函数为 则需求弹性为

若供给函数为 则供给弹性为

例10某商品的需求函数为 ，求 时，需求对价格的弹性。

解：

当 时， ≈－1.7

其经济含义是，当 时，价格每上升1%，需求量则减少1.7%

注：文章中涉及的公式和图表请用PDF格式打开

（4）列表讨论如下：