由一圆锥曲线命题联想得到的新轨迹命题

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本文提出了一个针对圆锥曲线的一个轨迹命题，并在该命题的基础上进一步联想提出了一个新的解析几何命题，并对该命题的轨迹进行了较深入的探讨.之后再进一步联想又提出了两个新的解析几何命题.

先看如下关于圆锥曲线的轨迹命题.

命题1 不共线的三定点O A B，，所在直线OA AB OB，，，以O为圆心任作一圆与OA交于S，过S作OB的平行线，交AB于T，过T作某定直线的平行线交所作圆于M，求点M的轨迹方程.

很显然当定直线不是y轴时点M的轨迹仍为圆锥曲线，随着定直线的变化所得到的圆锥曲线也必将不断变化.在上述命题中，过T平行于定直线的直线与所作对应圆的交点有时有两个交点，有时有一个交点，有时没有交点，其中若只有一个交点，则说明所作的过T平行于定直线的直线与所作对应圆相切，显然这一点是所求的某一圆锥曲线的一个顶点.基于此得到启示，我们提出如下轨迹命题.

命题2 不共线的三定点O， A， B所在直线OA， AB， OB，以O为圆心任作一圆与OA交于S，过S作OB的平行线，交AB于T，过T作所对应圆的切线，切点为M，求点M的轨迹方程.

我们对命题2的轨迹作如下探讨和圆锥曲线类似，轨迹方程（1）形成的曲线的形状与其中参数a， b， k的取值有关，下面我们就针对命题2中的M点轨迹作如下探讨.

（2）当0a≠，0b≠且1k =时轨迹方程（）表示的曲线为图4所示的曲线.

（3）当0a≠，0b≠且1k

（4）当a =0，b≠0且A点为有限点，并且A点不在y轴时k值必然是小于1的正数此时轨迹方程（）表示的曲线为闭合曲线，且该曲线关于y轴对称，如图6所示.

我们将轨迹方程（1）所形成的所有曲线统称为“圆锥曲线的顶点集合曲线”.

顺着提出命题2的思路不难得到如下两个命题.

命题3 不共线的三定点O A B，，所在直线OA AB OB，，，以O为圆心任作一圆与OA交于S，过S作OB的平行线，交AB于T，连接OT的直线与所作圆相交于点M，求点M的轨迹方程.

命题4 不共线的三定点O A B，，所在直线OA AB OB，，，以O为圆心任作一圆与OA交于S，过S作OB的平行线，交AB于T，在所作圆上取一点M使得 TMa=（其中a为定值），求点M的轨迹方程.

由于篇幅的原因，关于命题1命题2轨迹的探讨，这里我们就不再进行，必要时另文介绍，有兴趣的读者亦可对其进行较深入的研究，这也是笔者提出这两个命题的原因之一.

从前面的内容可以看出，联想是数学发展的源动力，它使数学变得丰富多彩，并能得到很多新的成果，甚至可以产生新的数学领域；在数学教学中，联想还能使学生的思路开阔，兴趣增强，能力提高；所以教师在数学教学过程中，在课本知识的基础上适度进行联想还是必要的.