《数学》第八章“直线与圆”教材分析与教学建议
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【摘 要】平面解析几何是用代数方法研究平面几何问题的学科。直线与圆的方程属于平面解析几何的基础知识，它侧重于数形结合的方法和形象思维的特征，综合了平面几何、代数等知识，涉及两点间距离公式、线段的中点公式、直线与圆的方程等知识。
本章分为以下几个部分：两点间距离公式及中点公式、直线的倾斜角和斜率以及直线的方程、两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式、圆的方程以及直线与圆的位置关系、直线与圆的方程的实际应用。
本章在内容的选择及呈现方式上与以往的处理有所不同。其一，通过观察和探究一些生活现象或数学问题，使学生初步了解和认识本章的概念或内容要点；其二，初步涉及一些线段或圆弧（半圆）的图形与方程，使学生在数形结合的过程中，对函数与方程的关系、方程与方程的关系等有进一步的认识。下面，笔者对本章的教学内容分节给出在学习准备、探究、教学过程及例题处理等方面具体的教学建议。
（一）8.1两点间距离公式和中点公式（2课时）
本节的学习是在向量的差、模、数量积等知识的基础上进行的。
两点间的距离由两点的位置确定，也就是由两点的坐标确定。运用两点间的距离公式计算时，必须用相应坐标作差，再求它们的平方和，最后再求其算术根。结果的根式一般要求化成最简。在解决实际问题时，先要建立坐标系，找到这两点的坐标，再利用两点间的距离公式。
在教学中点坐标公式时，可以尝试小组合作讨论法：请学习小组的同学们在坐标系内取两点，查得它们的坐标，再找到联结这两点的线段的中点，再查中点的坐标，通过小组合作探索中点坐标与两个端点坐标的关系。由此加深对中点坐标由两个端点的坐标确定的理解，即：线段中点的坐标是两个端点相应坐标和的一半。
（二）8.2直线的倾斜角和斜率（1课时）
教学本节内容时，可先组织同学回忆坡度的概念：坡度=升高量/前进量。以及正切的定义：点P（x，y）是角α终边上的任意一点，则tanα=y/x（α≠kπ+π/2，k∈Z）。
接着可通过小组合作的形式探索确定一条直线的办法。了解除了两点能确定一条直线外，已知直线过某个点的情况下，如果再知道直线的倾斜程度，也能确定直线。至此，就可以很自然地来研究直线的倾斜程度，直线的倾斜程度可以根据它与x轴相交的角来规定：一条直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫作这条直线的倾斜角（与x轴平行或重合的直线的倾斜角规定为0°）。这个规定自然、清楚、易接受，但角的大小运算起来很不方便，为此，继续规定：倾斜角α的正切叫作这条直线的斜率，即k=tanα（α≠90°）。但是，这个规定还是涉及角，应用起来还是很困难。进一步探索，又得到：过两点P（x1，y1）和Q（x2，y2）（x2≠x1）的直线的斜率k=y2-y1/x2-x1（x2≠x1）。
从教材表8-1中，我们可以得到：倾斜角为锐角时，直线的斜率为正；倾斜角为钝角时，直线的斜率为负；倾斜角为零度时，直线的斜率为零；倾斜角为直角时，直线的斜率不存在。
（三）8.3直线的方程（3课时）
先可以组织学生复习一次函数y=kx+b及其图像，再通过小组合作的形式探讨：已知一条直线上一点的坐标和斜率，这条直线上其他点的坐标是否满足同一个方程？通过讨论让学生了解到在已知一条直线上一点的坐标和斜率，设出其他任一点的坐标后，就可应用斜率公式得到它们满足的一个方程。由此进一步就能得到已知直线上的一点P（x1，y1）和斜率k，直线的方程是y-y1=k（x-x1）（直线的点斜式方程）。
通过例1的学习，让学生认识到若已知直线上一点的坐标和斜率，就直接代入直线的点斜式方程；若已知直线上一点的坐标和直线的倾斜角，要先求倾斜角的正切，得到直线的斜率，再代入直线的点斜式方程。通过例2的学习，要让学生了解到直线的点斜式方程存在的前提是直线要有斜率，也就是其倾斜角不为直角。对于平行于y轴的直线，就不能用点斜式方程。
教材P74的“探究”中给出“直线在y轴上的截距”的规定，教学中为了方便，也称其为“纵截距”。需特别引起同学们注意的是，所谓“纵截距”，是指一个点（直线与y轴的交点）的纵坐标，因此，截距可以是正的、负的，也可以是0。引入了这一概念后，就得到斜率为k，在y轴上的截距为b的直线方程为y=kx+b（直线的斜截式方程）。
直线的斜截式方程实际是直线的点斜式方程的特殊情况，只不过斜截式方程中直线上的已知点必须是直线与y轴的交点，正因如此，其形式也较简单，满足其条件直接应用就比较方便。反之，在已知了直线的斜截式方程后，就能立即看出直线的斜率和直线在y轴上的截距，从而就可知道直线的位置及走向。
在本节第3课时开始时，可引导学生通过小组合作的形式讨论直线的点斜式方程和斜截式方程是否都可以化为左边是关于x、y的二元一次多项式，右边为0的方程。对于已知了直线的一般式方程，要求直线的斜率和直线在y轴上的截距的问题，只需把直线的一般式方程化为斜截式，也就是方程左边为y，右边为关于x的一次多项式，这样，x的系数就是直线的斜率，常数项就是直线在y轴上的截距。
学习了例题后，启发学生掌握直线方程的三种形式：直线的点斜式方程、直线的斜截式方程和直线的一般式方程，讨论分析它们的异同、各自的特点和用处，达成共识。
（四）8.4两条直线的位置关系（3课时）
在通过适当途径引入本节课后，可以请同学们按小组合作的形式讨论在已知两条直线方程的情况下，怎样求出这两条直线的交点的坐标。
由P79的“思考交流”可知，如果由两条直线的方程组成的方程组有唯一的解，那么这两条直线的位置关系就是相交；如果有无数解，那么这两条直线的位置关系就是重合；如果无解，那么这两条直线的位置关系就是平行。
须注意的是，本知识点应达到的要求是掌握。一方面，要让学生理解要求两条直线的交点，只需解由这两条直线的方程组成的方程组。另一方面，让学生比较熟练地通过解方程组求出交点的坐标。对于方程组无解或有无数解，适当了解即可。
进入第2课时，可以请学生按小组合作的形式研究平面直角坐标系内两条平行直线的倾斜角及斜率的关系。分析总结得出：当两条直线都有斜率时，如果它们互相平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，并且它们的纵截距不等，那么它们互相平行。
在第3课开始，可以请学生仿照两直线平行的条件按小组合作的形式研究两条直线垂直的倾斜角及斜率的关系。在教师的引导下得出：当两条直线都有斜率时，如果它们互相垂直，那么它们斜率的乘积为-1；反之，如果它们斜率的乘积为-1，那么它们互相垂直。
在已知两条直线方程的情况下，要判断两条直线的位置关系，一般是先求出它们的斜率。如果斜率相等，并且它们的纵截距不相等，那么它们平行；如果斜率不等，看它们的乘积是否等于-1，如乘积是-1，就互相垂直，如果乘积不是-1，就是既不平行又不垂直。以上研究两直线垂直的条件，都是假定两直线的斜率都存在的。
（五）8.5点到直线的距离公式（1课时）
首先要复习一下两点间的距离公式。再请同学们以小组合作的形式探究如何求一个已知点到一条已知直线的距离。解决点到直线的距离问题，基本方法就是将此问题化归为求点到点的距离问题。
本教材通过具体的一个问题揭示推导点到直线距离公式的一种思路，对公式的具体推导不作要求。运用点到直线的距离公式时，直线的方程必须是一般式。
对于两条平行直线间距离的问题，本教材是通过在“思考交流”中求两条具体的平行直线间的距离来解决的，主要是让学生体会化归思想，能认识到线线距离可以化归为点线距离。对于参加对口单招的学生或是五年制高职的学生，可以引导他们探究出两条平行直线间的距离公式。
（六）8.6圆的方程（3课时）
首先组织学生复习圆的定义和两点间的距离公式。再请同学们按小组合作的形式仿照在坐标系内建立直线方程的方法探讨如何求圆的方程（注意紧扣圆的定义）。
圆上任意一点到圆心的距离是定值――圆的半径；反之，到圆心的距离等于半径的点一定在圆上。紧扣圆的本质特征就不难得到圆的标准方程。再启发学生考察圆的标准方程，实际涉及三个量：圆心的横坐标、纵坐标以及圆的半径。在标准方程中要注意等号左边的括号里是“-”，等号右边是平方的形式。要求学生能由圆的标准方程看出圆心的坐标和圆的半径；反过来，有了圆心坐标和半径，要能写出圆的标准方程。
在第2课时开始，可请同学们仿照探讨直线方程的一般式来求圆的一般方程。对于给定方程要判断是否是圆的方程，只需验证D2+E2-4F是否大于0。如果是，套用公式就能得到圆心坐标和半径。如不直接套用公式，也可通过配方把方程的形式化为圆的标准方程。在这里老师最好针对一个具体例子复习一下配方的方法。相当部分中职学生对配方法掌握得并不好，况且已有很长时间没有接触到配方了。
（七）8.7直线与圆的位置关系（3课时）
本节开始要组织学生复习平面几何中圆的有关切线和弦长的问题，以及判断直线和圆的位置关系的方法。
直线与圆有三种位置关系，关键是看圆心到直线的距离与半径的大小关系。从形的方面来判断直线与圆的位置关系：圆心到直线的距离小于半径，直线就和圆相交；等于半径，直线就和圆相切；大于半径，直线就和圆相离。从数的方面来判断，看直线方程和圆的方程组成的方程组的解，有两解，就是相交；只有一解，就是相切；无解，就是相离。因此，若已知直线和圆的方程，要判断它们的位置关系，通常是比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系。
在第2课时，可以先组织学生复习平面几何中圆切线的性质以及互相垂直的直线斜率的关系。
对于例3的处理，在开始计算之前，可让学生试着画出满足题意的草图，我们通过画图就能判断满足题意的圆应该有两个：因为直线是定直线，圆的半径是4，其圆心坐标是（0，b）。
例4中原点正好就在已知圆上。因此，过原点的圆的切线就只有一条。例5也是求过圆上一点的圆的切线，也只有一条。要求切线的方程，还需求出该切线的斜率。由平面几何的知识可知，该切线垂直于过切点的半径所在的直线。因此，只需求出这条半径所在直线的斜率，其负倒数就是所求切线的斜率。
学习例6时，要组织同学们复习一下平面几何中圆的弦与过该弦的中点的直径的关系。对于圆的弦来说，它与过该弦的中点的直径垂直，因此，就能形成直角三角形，根据勾股定理，就能在已知半径、弦心距的情况下，求出弦长的一半，最终求出弦长。
（八）8.8直线与圆的方程的实际应用（2课时）
通过本节的学习，要求学生能够解决简单的直线与圆的实际问题，能根据半圆的方程画出图形，进而培养学生主动运用数学知识解决实际问题的能力。
例1是个实际问题，本题考虑到图形的对称性，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴比较合适。此时，就有了圆上三点的坐标，运用圆的一般方程运算比较方便。有了圆的方程，可以得到P2点的纵坐标，就能知道支柱A2P2的长度。
学习例2时，要对算术根的意义进行适时复习。 本题的方程中含有根号，自然能想到两边平方。但平方后的方程与原方程并非等价方程了，学生不一定能理解这里边的道理，但可指出：由于原方程的右边是算术根，因此，其左边也必须为非负数，即x-3≥0，此为正确解决本题的关键。
从“问题解决”中，我们应该体会到，要正确判断直线和圆的位置关系等，仅靠从几何直观判断是不够的，必须依靠运算和推理。■
（作者单位：南京幼儿高等师范学校）