线性方程组同解\公共解的解法
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摘 要: 线性方程组是线性代数的基本内容,是数学中非常重要的基础理论,求解线性方程组是线性代数最主要的任务,在自然科学、工程技术中都经常用到。本文就线性方程组的同解、公共解的计算进行了讨论。
关键词: 线性方程组 同解 公共解 计算
例1.已知齐次线性方程组(I)x+2x+3x=02x+3x+5x=0x+x+ax=0和(II)x+bx+cx=02x+bx+(c+1)x=0同解,求a、b、c的值。
解:因为方程组(II)中方程的个数
对(I)的系数矩阵做初等行变换,有:
1 2 32 3 51 1 2?邛101011000,得(I)的同解方程组为x+x=0x+x=0,令x=1,得x=x=-1,故方程组(I)的通解为k(-1,-1,1)。
因为(I)与(II)同解,所以(-1,-1,1)也是方程组(II)的解,于是有-1-b+c=0-2-b+c+1=0?圯b=1,c=2或b=0,c=1。
当b=0,c=1时,方程组(II)为x+x=02x+2x=0,系数矩阵的秩为1,而方程组(I)的系数矩阵的秩为2,从而(I)与(II)不同解,故b=0,c=1应舍去。
当a=2,b=1,c=2时,(I)与(II)同解。
例2.设线性方程组(I)x+x+x=0x+2x+ax=0x+4x+ax=0与方程(II)x+2x+x=a-1有公共解,求a的值及所有公共解。
解:联立方程组(I)与(II),加减消元有:
= 1 1 101 2 a01 4 a 01 2 1 a-1?邛1 1 100 1 a-100 3 a-1 00 10a-1?邛1 11 00 1 a-100 0 (a-1)(a-2)00 0 1-aa-1。
若a=1,则?邛1 1 1 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0,从而方程组的通解为k(1,0,-1),即为方程组(I)与(II)的公共解。
若a=2,则?邛1 1 1 00 1 1 00 0 -1 10 0 0 0,从而方程组的唯一解为(0,1,-1),即为方程组(I)与(II)的公共解。
例3.设4元线性方程组(I)为:x+x=0x-x=0,又已知某齐次线性方程组(II)的通解为:k(0,1,1,0)+k(-1,2,2,1)。问线性方程组(I)和(II)是否有非零公共解?若有,求出所有的非零公共解;若没有,说明理由。
解:(I)的基础解系为(-1,1,0,0),(0,0,1,1)。
(II)的基础解系为(0,1,1,0),(-1,2,2,1)。
(-1,1,0,0),(0,0,1,1),(0,1,1,0),(-1,2,2,1)线性相关,线性方程组(I)和(II)有非零公共解。
将(II)的通解记作x=-k,x=k+2k,x=k+2k,x=k,代入(I)中得-k+k+2k=0k+2k-k=0?圯k=-k。
当k=-k≠0时,解向量k(0,1,1,0)+k(-1,2,2,1)=k(1,-1,-1,-1)是(I)与(II)的非零公共解。
例4.已知某齐次线性方程组(I)和(II)的基础解系分别是ξ=(0,0,1,0),ξ=(-1,1,0,1);?耷=(0,1,1,0),?耷=(-1,2,2,1)。
问线性方程组(I)与(II)是否有非零公共解?若有,求出所有的非零公共解,若没有,说明理由。
解:ξ,ξ,?耷,?耷线性相关,线性方程组(I)和(II)有非零公共解。
(I)的通解是k(0,1,0)+k(-1,1,0,1),(II)的通解是l(0,1,1,0)+l(-1,2,2,1)。
令γ=k(0,0,1,0)+k(-1,1,0,1)=l(0,1,1,0)+l(-1,2,2,1)①,则当k,k不全为0,l,l不全为0时,γ是(I)与(II)的非零公共解。
由①式得到k,k,l,l的齐次线性方程组②,再对其系数矩阵做初等行变换,有:
0 -1 0101 -1 -210 -1 -2010 -1?邛100 -1010 -100110000,得②的同解方程组为k-l=0k-l=0l+l=0,令l=1,得k=k=1,l=-1。故方程组②的通解为k(1,1,-1,1),当k≠0时,即为(I)与(II)的非零公共解。
关于同解,即(I)的解是(II)的解,(II)的解是(I)的解。由同解推知系数矩阵的秩相等,但系数矩阵的秩相等推不出同解。
所谓公共解,就是即是方程组(I)的解,也是方程组(II)的解。若两个方程组均已给出,那么把(I)与(II)联立所求出的解就是公共解,如例2。如果知道(I)的基础解系,则可把其以通解的形式代入(II)中来求公共解,如例3。如果已知两个方程组的基础解系,则可如例4来求公共解。
参考文献:
[1]李永乐.李正元考研数学.国家行政学院出版社.
[2]高等代数教程.清华大学出版社.
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