新旧高中数学教材立体几何部分概念和定理呈现方式的比较分析
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摘 要： 新旧教材在课程内容的呈现方式上有很多不同之处，“大纲”教材更注重概念和定理的简洁、清晰，以及教学的实用性和演绎论证的严谨性；“课标”教材更注重概念和定理的简洁、清晰与连贯，以及论证的可接受性，更加注重学生的合情推理能力的培养。一线教师应该全面而充分地认识立体几何的教育价值，注意学生演绎推理和合情推理能力的平衡发展。
与《全日制普通高级中学数学教学大纲》（以下简称“大纲”）相比，《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称“课标”）在课程理念和课程内容方面都有很大变化。因此，和大纲教材相比，根据普通高中数学课程标准编写的教材也有了很大的改变。下面以人教版大纲教材（2006年6月第二版）和人教A版课标教材（2007年2月第三版）为标准，比较了两版教材在立体几何中的概念和定理的呈现方式上异同。
一、个别概念的不同
和大纲教材相比，课标教材中很多概念的呈现方式都有所改变。表1具体列举了“课标”教材与“大纲”教材相比一些概念的具体变化。
表1 课标教材某些概念的变化（和大纲教材相比）
注：表中的“√”表示该概念变化的具体表现。
从上表可以看出，和大纲教材相比，课标教材的必修部分立体几何的概念陈述共有十一个发生了变化。
首先，有的概念叙述发生了变化。如棱柱的概念，“大纲”教材的叙述是“如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫做棱柱”。
“课标”教材的叙述是“一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱”。观察发现“大纲”教材对棱柱概念表述虽然精简，符合数学的特点，但对于初学者来讲，课标教材的叙述明显更加清晰，因为它强调“其余各面都是四边形”，使得学生更加直观地在脑海中勾勒出棱柱的图形。高度的抽象性是数学学科的特点之一，概念是对事物的描述，概念的教学要注意抽象与具体相结合的原则，形象生动的描述值得提倡。
其次，有些概念的表达方式有所变化，例如球体，“大纲”教材对球体的描述与球的表达方式类似，而“课标”教材则是利用新增加的旋转轴与旋转体的基础上定义的。这种发生定义方式，比起揭示概念本质属性的定义方式，更能体现新课改“体现知识的发生发展过程”的理念。
再者，有的概念被去除了，如斜棱柱等。这些概念被去掉是因为有些定义在教材中并没有对其进行研究，只是让学生认识该事物而已。还有些定义被去掉是因为其被列到了选修课程里面，例如正射影等。
最后，有些概念是新增的。这些定义要么是为后面的某些知识点奠定基础，如旋转体与旋转轴；要么是使数学更紧密地与学生的生活相结合，为学生的后续学习打下知识基础，如三视图等；要么是其成为重点研究对象如棱台与圆台。像“多面体”等概念，在叙述概念前，都加上了三个字“一般地”，重在强调概念的严谨性。
二、个别公理陈述的不同
立体几何中，公理的增减方面是没有变动的，只是有些公理呈现的先后次序略有改变。我们以“课标”教材里面的公理名称为准，以此比较“大纲”教材中相应公理呈现的不同，如表2：
表2 “课标”教材的公理与“大纲”教材相应公理呈现的比较
从两版教材公理1与公理2的陈述中，发现定理的大体内容实际上并没有变化，只是公理的呈现形式更简明。“一条直线上的所有点都在这个平面内”等价于“这条直线在此平面内”，只是前者更加强调线上的所有点，而后者更加强调所有点构成的直线，重点突出的要素不同，显然后者更加简洁。
此外，“课标”教材将“大纲”教材中讲述公理部分中的三个推论（page：6-7）去除了。在“课标”教材的教学过程中，虽然这三个推论不在课本中出现，但是有经验的教师为了拓宽学生的知识视野，给后续学习打下良好的基础，让学生能够更深刻地理解公理“不共线的三点确定一个平面”，会罗列并讲述三个推论的内容，例如对推论1即“经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面”的讲述，就是对上述公理的拓展和具体化，推论2与推论3同样如此，鉴于这三个推论在立体几何中的重要性，笔者认为，为了方便老师教学及学生自学，将这三个推论呈现在教材中是有必要的。
三、个别重要定理的不同
对于立体几何里面重要定理的呈现比较与分析，笔者发现其中有新增的定理，例如定理（page：69）：“一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直”。这个定理的内容对于新学者是很容易理解的，同时增加这个定理为判定两个平面垂直提供有效的“工具”，从而增加这个定理是可行且必要的。
和“大纲”教材相比，“课标”教材在立体几何定理方面，同样将“大纲”教材中的推论（page：20）“如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行”删去了。对于这一改动，笔者有异议，因为运用这个推论的内容判定两个平面平行，很多情况下比其相应的判定定理判定两个平面平行更加简单、方面，而且思路更加清晰。同时，由于课程标准的要求，判定定理都应该通过直观感知、操作确认等方式得来，这个判定定理也是根据该推论的结论得来的，显然根据这个推论的重要性，删除该推论没有丝毫意义，不仅不利于教师教学和学生自学，而且不利于学生灵活地掌握知识，笔者不认同这个推论应该删去。
有些定理改变条件叙述使得定理的结论更加完整，例如：
“大纲”（page：13）：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
“课标”（page：46）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
在“大纲”教材中讲解这个定理时，几乎每个教师都会讲解两个角的两边对应平行的两种情况，所以新教材用简洁的语言陈述了定理的两种情况有事半功倍的效果。
当然，数学是简洁的，如果在定理中有些文字在去掉之后并不影响定理的表达，那么就应该毫不犹豫地去掉，以体现数学的简洁美。这样可以使学生更容易理解，例如：
“大纲”（page：19）：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
“课标”（page：57）：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
这里，“分别”两个字去得恰当而又得体，既不影响内容的理解，又为学生学习减轻了负担。
此外，有些定理在原来的基础上呈现得更清晰，使学生更易理解，例如：
“大纲”（page：18）：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
“课标”（page：59）：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该平面平行。
对于新接触这一知识点的学生而言，显然是很难理解的，因为学生很难理解结论中的“这条直线”究竟是哪一条直线，是“经过这条直线”的直线，还是两平面相交而形成的直线呢？经比较我们发现，“课标”教材的叙述要清楚得多。
四、给一线教师的建议与意见
新一轮课程改革在课程基本理念方面发生了很大的变化。一线教师首先要进一步深入理解新课程改革的理念，并且自觉地将这些理念落实到教学实际中。在立体几何教学中，要全面而充分地认识立体几何的教育价值，注意把握过程教学，注意学生演绎推理和合情推理能力的平衡发展。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.
[2]十三院校协编组.中学数学教材教法[M].高等教育出版社，2010.
[3]人民教育出版社.全日制普通高级中学教科书（必修）[M]数学第二册（下B），2006年第二版.
[4]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书教科书数学2（必修）[M]数学第二册（下B），2007年2月第三版.
[5]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.数学（A版）（必修1～必修5）培训资料（修订版）[M].人民教育出版社，2009.
课题项目：2012年贵州省基础教育科学研究、教育教学实验课题――对新课标高中数学不同版本教材的比较分析研究（2012B280）；2010年遵义师范学院基础教育研究项目――《高中数学新课程标准下不同版本教材的比较分析研究》（10ZYJ029）；2010年遵义师范学院基础教育研究项目――《新课程背景下初等几何的教育价值研究》（10ZYJ028）。