一道习题的探究、推广与应用

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图1题目：如图1，任意四边形ABCD被两条对角线分成四个三角形:OAD、OBC、OAB、OCD，它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，则S1?S2=S3?S4.

证明：设OAD边AO上的高为h1，OAB边OA上的高为h2，则

S1S4=12OA?h112OC?h1=OAOC，S3S2=12OA?h212OC?h2=OAOC．

所以S1S4=S3S2， 即S1?S2=S3?S4．

本题题设清楚，明快，结论体现了数学的简洁美、对称美、和谐美，引起了笔者的兴趣，我们不妨把它称之为“四分面积定理”，对此定理作如下探究：

1 四边形的变化

图2本题中的四边形为凸四边形，如果是凹四边形，结论还成立吗？

如图2，凹四边形ABCD中，CA的延长线与BD相交于点O，

因为SOADSOCD=OAOC=SOABSOBC，

所以SOAD?SOBC=SOAB?SOCD．

所以，结论还成立.

2 点的变化

2.1 点O的变化

图3在上面的探究中，点B、O、D在同一直线上，如果点B、O、D不在同一直线上，结论还成立吗？如图3，点B、O、D不在同一直线上.

因为SOADSOCD=OAOC=SOABSOBC，所以SOAD?SOBC=SOAB?SOCD．所以，结论还成立.

图4当点O在CA的延长线上呢？如图4，点O在CA的延长线上，

因为SOADSOCD=OAOC=SOABSOBC，

所以SOAD?SOBC=SOAB?SOCD.所以，结论还成立.

点O可以变化，那么点B、D的位置改变了，结论还成立吗？因此想到了下面的探究：

2.2 点B、D的变化

在上面的探究中，点B、D都是在AC的两侧，如果在AC的同侧，结论还成立吗？如图5，点B、D在AC的同侧.

图5 图6 图7现选择图6加以说明，因为SOADSOCD=OAOC=SOABSOBC，所以SOAD?SOBC=SOAB?SOCD．

图5和图7一样的说明方法.所以，结论还成立.

3 定理的推广

由上面这些探究，不难把“四分面积定理”作如下推广：

图8推广:设平面上有两组点A、C和B、D，如图8，在直线AC上任取一点O，则都有SOAD?SOBC=SOAB?SOCD．

证明 （ⅰ）若BD∥AC，由同底等高的三角形的面积相等，得SOAD=SOAB，SOBC=SOCD，故结论成立．

（ⅱ）若B、D中有一点在AC上，则结论中等号两边都为0，结论成立．

（ⅲ）若AC与BD相交于H，则SOABSOAD=BHDH=SOBCSOCD，故SOAD?SOBC=SOAB?SOCD．

4 定理的应用

例1 如图9，某公园的外轮是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，AOB的面积是1平方千米，BOC的面积是2平方千米，COD的面积是3平方千米，公园陆地总面积是692平方千米，那么人工湖(阴影部分)的面积是 平方千米.

简解 由“四分面积定理”有1×3=2×SAOD，得SAOD=32.所以692+S人工湖=1+2+3+32，从而S人工湖=058．

图9 图10例2 如图10，梯形ABCD的面积为S，AB∥CD，AB=b，CD=a （a＜b），对角线AC与BD相交于O，BOC的面积为29S，求ab.

简解 设ab=k，则S1＝k2S2．

由“四分面积定理”有S1?S2=S23，

所以k2S22=S23 ，所以kS2=S3=29S．

因为S1+S2=S-2S3=59S，所以k2S2+S2=59S，即（k2+1）S2=59S．

所以kk2+1=25，所以k=12或k=2（舍去），所以ab=12．

例3 如图11，O是AC上一点，SOAD=2，SOBC=15，SOAB=18，求SOCD．

图11 图12简解 直接运用定理的推广SOAD?SOBC=SOAB?SOCD，得2×15=18×SOCD，从而SOCD=53．

例4 如图12，正方形ABCD的面积为1，M是AD边上的中点，求图中阴影部分的面积．

简解 设SABG=x，从而 SMCG=x，所以SAMG=14-x，SBCG=12-x，由“四分面积定理”得x2=(14-x)(12-x)，所以x=16.故阴影部分面积=2x=13．