创造性使用教材 培养学生的创新能力

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【摘要】创新，即为更新、改变、造创新的东西。

“教学，就是帮助或形成学生智慧及认知的生长；教师的任务，是要把知识转化成一种适应正在发展着的学生形式。”

数学教材在传授基础知识，形成基本技能，培养学生创新思维和能力方面都充分体现了指导性、权威性和基础性，为教师的再创作留有极大的发挥空间。

学习数学是循序渐进、由表及里、逐步深入的过程，粗略、定性和直观的认识往往是创新和发明的火种。“教师要善于激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；要创造性地使用教材，积极开发、利用各种资源为学生提供丰富多彩的学习素材；”要创造有利于开发学生潜能的宽松、无畏而又适度紧张的环境，使学生心情愉悦、充满好奇心、敢当探险家。

教授新课程，是培养学生创新能力的最佳示范。传授新知的过程，是学生掌握基础知识、形成基本技能的起点；是学习和运用教学思想方法的试验田；是提出新问题，解决新问题的创作开端。

拓展研究，是培养学生创新能力的催化剂。教师要开发利用好教材例题的示范与发散功能、习题的强化与整合功能，尽力做到激活一个题，解决一串题。解数学题的核心是转化，转化的目标是化生为熟，化大为小、化难为易，从而化未知为已知；解数学题的本质是“把要解的题转化为己解的题”；解数学题有三种境界：就题论题，就题论法，就题论道。

开发数学潜能，强化思维训练，为提高学生的创新能力插上理想翅膀。青少年学生潜能巨大、可塑性强，不缺乏想象力和创新能力。记忆力强、思维敏捷，而在计算能力、对代数式及图形变换的把握能力、逻辑推导能力与空间想象能力、数学思维能力方面需要开发。系统的训练，可以开发学生数学潜能的最近发展区，可以促进学生完善思维构造、化解思维障碍、优化思维品质，形成学科智慧；多向思维训练能充分激发学生的联想与想象能力。“联想与想象是创新的翅膀，人类正是依靠想象征服世界。”

【关键词】数学教学;创新能力;方法;途径

初中数学《课程标准》指出：教师要善于激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；要创造性地使用教材，积极开发、利用各种资源为学生提供丰富多彩的学习素材。

据此，笔者的理解是，要培养学生的创新能力，首先教师要具备较强的创作能力――创造性地使用教材、强化双基、培养学生的创新意识和能力；同时，教师要创造有利于开发学生潜能的宽松、无畏而又适度紧张的环境，使学生心情愉悦、充满好奇心、敢当探险家。

数学教材是教与学的蓝本。教材在传授基础知识、形成基本技能、培养创新思维和创新能力方面都充分体现了指导性、权威性和基础性，为教师的再创作提供了极大发挥空间。简言之，教材既是知识与能力教学的标杆，又是创新教学的母体。笔者试以人教社义务课程标准实验教科书初中《数学》为依据阐释上述观点。

1. 教授新课程，是培养学生创新能力的最佳示范

布鲁纳指出：教学，就是帮助或形成学生智慧及认知的生长；教师的任务，是要把知识转化成一种适应正在发展着的学生形式。

传授新知的过程，是学生掌握基础知识、形成基本技能的起点；是学习和运用教学思想方法的试验田；是提出新问题，解决新问题的创作开端。教师的根本任务是引领学生主动地从事观察、实验、猜测、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。

例如，§7.2.1 三角形内角和定理的证明，其内容学生在小学里有一定认识，现在的任务是实现从验证几何跨越到论证几何的理性升华和思想方法的创新。

遵循“认识首先是粗略的、定性的、直观的，然后才是精确的、定量的、抽象的”规律，可以根据不同学习时段学生所具备的知识、方法与能力，设计出渐进的、创新的证明方法。

证明三角形内角和定理方案设计如表1：

表1 证明三角形内角和定理方案设计

学段证法图示操作方法主要原理备注

初一

实验几何法

①将ABC的三个内角剪下，拼成以A为顶点的平角。②将ABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角。平角为180证法③④的萌芽

逻辑论证法

③过点A作 ∥BC④过点C作CE∥AB⑤过点A作AD∥BC⑥过点A、B、C作 a∥b∥c两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补。证法①②的理性升华。

初二逻辑论证法

⑦将ABC的三个顶点折叠至与A'点重合,构成以点A'为顶点的平角。轴对称性质。⑨在ABC平面上任选一点O，过点O作三边的平行线，把三个内角拼成以O为顶点平角。平移与中心对称性质。新新数学理论的应用。

上述证明过程由繁到简，由具体到抽象，这印证了“证明数学定理过程的简化，伴随着数学的发展，既是新数学理论的一个精彩应用，又为新数学理论的诞生注入活力”。

上述教学过程也肤浅的说明了学习数学是循序渐进、由表及里、逐步深入的过程，粗略、定性和直观的认识往往是创新和发明的火种。

2. 拓展研究，是培养学生创新能力的催化剂

教材体例呈现了基础性（思考、探究、归纳；复习巩固、综合应用、拓广探索）和开放性（数学活动，课题学习；阅读与思考，，观察与猜想，实验与探究）。层次清晰、内容丰富，旨在强化基础，且鼓励探索、尝试与创新。

解数学题的能力是衡量学生数学涵养的一把尺子，也是对照教师数学智商的一面镜子。初中数学课程应着重于基础性、普遍性和通用性，以及与高中数学衔接的内容，而不强调某些特殊的技巧。因此，教师的主要精力应投放在开发利用好教材例题的示范与发散功能、习题的强化与整合功能。尽力做到激活一个题，解决一串题。力争以少胜多、事半功倍。

附表1 证明三角形内角和定理方案设计

初三逻辑论证法⑩将带箭头的射线依次绕各顶点旋转三个内角（∠α、 ∠β、 ∠γ）的度数后，观察起始与终止两个位置上带箭头的两条射线方向恰好相反。这说明整个过程旋转了180°旋转性质。新数学理论的应用。

2.1 适时拓展典型例题，是培养学生创新能力的推进剂。

例题，即典例示范。例题的作用是引领学生经历分析与推理计算，转化与迁移，拓广与探索、创新等数学活动，初步完成知识、技能、思想方法的整合与运用。

例如，§24.2.2直线和圆的位置关系一节中例2的拓展研究过程如下：

如图11，ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别切于点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm.求AF,BD,CE的长。

图11

解：【方程思想】

方法（1），列一元一次方程。

【观察与思考】O内切于ABC，切线AE，BF，BD，CD，CE相当于分别从O外的A、B、C三点所引O的两条切线，且AB=AF+BF，BC=BD+CD，AC=AE+CE。根据切线长定理，有AE=AF，BF=BD，CD=CE。

将上述内容整合为下符号语言：

【推理与计算】设AF=Xcm,则AE=X,CD=CE=AC-CE=13-X,BD=BF=AB-AF=9-X.

【化生为熟】 由BD+CD=BC 可得（13-X）+(9-X)=14

解得 X=4

因此，AF=4cm，BD=5cm，CE=9cm。

方法（2），列三元一次方组。

设AF=Xcm BD=Ycm CE=Zcm，则AE=X BF=Y CD=Z.

由AB=9cm BC=14cm AC=13cm可得

X+Y=9 ①Y+Z=14 ②Z+X=13 ③

①+②+③得 2(X+Y +Z)=36,即X+Y +Z=18 ④

由④-①，④-②，④-③得Z=9， X=4 ，Y=5

【拓展研究】①.求ABC的面积（根式运算）；

②.求O的半径（几何图形面积的自分性与自等性）；

③.当ABC的周长为，O的半径为r 时，求ABC的面积（由特殊到一般）；

④.当ABC为直角三角形，两直角边分别为a 、 b ，斜边为c ，求O的半径 r (由一般到特殊)；

⑤.点G是DE上的一个动点，过点G 作O的切线MN，分别交CA、CB于点M、N 。CMN的周长是否发生变化？说明理由（动中求静）。

2.2 适当拓展精典习题，是培养学生创新能力的演练平台。

解数学题的核心是转化；解数学题的本质是“把要解的题转化为己解的题”；转化的目标是化生为熟，化大为小、化难为易，从而化未知为已知。因此，习题辅导的过程，就是引领学生从习以为常中变换背景或视角，提出新问题、转化为熟知问题，进而解决问题的转化与迁移的探索、创新过程。

教科书中“数学活动、”“课题学习”内容，以及“拓广探索”部分的习题，为教师留下了再创作空间，教者可视具体内容、学生与学段实情适度拓展。

例如，§24圆的章末复习【拓广探索】14题：

如图12，O的直径AB=12cm， AM和BN是它的两条切线，DC切O于E，交AM于D、交BN于C。设AD=x，BC=y，求y关于x 的函数关系，画出它的图像。

图12

解：（过程略）

y与x的函数关系为y=36x（x>0）；函数图像（略）。

【拓展训练】①在函数图像上有p(m,36m)，Q (m+2,36m+2)两点 ， 当 OPQ的面积为36 cm2时，求P 、Q 两点的坐标（分式方程，根式运算）；

②若x 、 y 是方程2t2-30t+m=0的两根，求x 、y 的值（解一元二次方程）

③连接AE 、 BE ，分别交OD 、OC 于Q 、P。证明：四边形OPEQ为矩形（由一般到特殊）；

④梯形ABCD 的周长何时最小？并求出这个最小值（探索创新）

解析：①～③略，第④小题，在初中范围内是完全平方式非负性的创新应用，在高中范围内是均值不等式的典型应用。

设 梯形ABCD的周长为cm ,则

=12+2(x+y)

=12+2(x+36x)

【转化与迁移】联想 (a+1a)20，构造完全平方式求最大（小）值。

x＞0， =36+2(x -6x )2

又 (x -6x )2 0

当 x -6x =0，即x=6时，有最小值，最小=36（cm）

【联想与思考】此时，梯形ABCD已变为矩形ABCD，点E在CD的中点处。

解数学题有三种境界：就题论题，就题论法，就题论道。

就题论题是指解决问题只囿于问题本身，问什么，答什么。不论方法，不思变式。

就题论法的关注点是在“法”上，问题本身仅仅是一个工具、载体，思考解决问题的一般方法，明确建立能举一反三的“通法”才是根本。

就题论道是解题的最高境界，在这个过程中，不只是学习一般的解题方法，而是由联想推广到一般的结论，力争找出反映问题本质属性的规律――在“题”上反映思维性，“法”上降低思维度，“道”上优化思维品质。

3. 开发数学潜能，强化思维训练，为提高学生的创新能力插上理想翅膀

数学潜能，主要表现在（1）记忆力，（2）计算能力、对代数式及图形变换的把握能力，（3）逻辑推导与空间想象能力 (4)数学思维能力。且数学思维能力是各种能力的支撑。

青少年学生并不缺乏想象力和创新能力，只是略显幼稚和粗糙。限于篇幅，笔者略举一例：

§22．2降次――解一元二次方程［复习巩固］中有这样一题：“用分解因式法解方程：3x2-12x=-12.”习惯思维是把原方程化为x2-4x+4=0 ，即 (x-2)2=0。然而，始料不及的是，竟有学生把原方程化为 “ (3x-6)(x-2)=0，”更让人惊讶的形式是“ (3x-23)2=0。”这两种分解方式，可以说是“愚笨之作，”也可以说是“聪明之举”，笔者更愿意评价为“创新之笔。”因为，常规思维无法产生这些新颖而独特的想法。所以，教师的任务是通过系统的训练，开发学生数学潜能的最近发展区、使隐性潜能充分展现，促进学生完善思维构造、化解思维障碍、优化思维品质、形成学科智慧。系统的思维训练，能充分激发学生的联想与想象能力。因为，“联想与想象是创新的翅膀，人类正是依靠想象征服世界。”

与此同时，教师要创造有利于开发学生潜能的环境。宽松，无畏而又适度紧张的氛围可使学生心情愉悦、充满好奇心、敢当探险家。贾已时日，学生就形成一种心理暗示：好方法总是人想出来的。所谓天才不过是一种以非习惯性的方法观察事物、解决问题的能力。

参考文献

［1］ 《义务教育课程标准・教学》（人教社2001年出版）

［2］ 《数学》七～九年级（人教社2007年～2010年出版）

收稿日期：2012-04-06