玩转数列 第11期

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇玩转数列 第11期范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

数列这部分知识在教材的内容中为比较简单的规则数列,而高考常常考查的是不规则的、需要构造的数列. 对于大部分同学来说,这是一个难点. 考试的时候,同学们如何才能在考场上做到快速求解呢?平时多训练一题多解,就不失为一种很好的选择. 下面结合2009年高考数学重庆卷第14题予以说明.

设a1=2,an+1=,bn= ,n∈N?鄢,则数列{bn｝的通项bn=_______.

题目要求的是通项bn,我们学习了等差和等比数列的通项公式的求法,所以我们就应该猜想bn是不是等差或等比数列,而等差和等比数列判断的关键都是看后一项和前一项的关系. bn的后一项是bn+1,我们就先大胆地尝试一下求bn+1,利用复合函数的思想并结合bn= ,可以得到bn+1= . 再由an+1和an的关系得出bn+1=2bn,即 =2. 根据等比数列的定义可以判断出{bn｝是等比数列,进而可以用等比数列的通项公式求解.

解法1b1= =4,bn+1= = =2 =2bn,因此数列{bn｝是以4为首项,2为公比的等比数列. 所以bn=4×2n-1=2n+1.

求数列的通项,一下子找不到思路时,我们常常通过观察前面的有限项来寻找思路. 不妨先大胆求出前面的几项来观察,b1=4,b2=8,b3=16,…,可以看到通项和2的几次方有关,很容易就猜出bn=2n+1. 对于选择和填空题来说,出题人的思路比较单一,往往我们只要找到其中蕴涵的某种规律就可以了,所以根据前面的有限项猜出的通项就是答案. 对于解答题,我们就要在猜的基础上用数学归纳法来证明,从而体现思维的完备性.

解法2a1=2,b1= =4=22=21+1;a = ,b =8=22+1;a = ,b =16=23+1;…,猜想bn=2n+1,下面对其进行证明.

证明:(1)当n=1时,b1=21+1=4,成立.

(2)假设当n=k时,bk=2k+1成立,则由解法1可知,bk+1=2bk=2•2k+1=2(k+1)+1.所以当n=k+1时,猜想也成立. 所以bn=2n+1就是所求的通项公式.

由已知可知bn是用an来表示的,要求bn,我们只要求出an,再代入bn的表达式即可得出答案. 如何才能求出an呢?只有用好an+1= 这个已知条件. 仔细一看,这个式子是不能直接通过消去an+1来得到an的. 再次回首已知条件,发现bn= ,我们就可以先不直接求an,可以转而求an+2和an-1这两个整体. 首先,我们可以任意选择其中一个整体来构造,如an+1=,化简得 =- -1,发现 是 的后一项,从而可以构造一个新等比数列 + . 由 + 的通项公式得到 的表达式,这时我们发现其实已不用再求an了,利用整体带入的思想求出an-1和an+2即可.

解法3因为an+1-1= -1= ,所以 =- =- -1. 所以 + = -2 + . 所以 + = (-2)n-1. 所以an-1= ,an+2=3 . 故bn= =2n+1.

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文