用不动点法和三角代换法求通项
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摘 要：数列通项公式不仅在高考中占有一席之地，而且在中学数学竞赛中也是常客.通过不动点法和三角代换法来解决某两类数列通项的求法.
关键词：不动点；不动点法；三角代换法
数列通项公式直接表述了数列的本质，经常渗透在高考和数学竞赛中.本人结合自身的数学教学实践，就两类特殊数列求通项的方法做些归纳延伸，以期能给大家一些启示.
一、不动点法求通项
不动点概念简介：若f（α）=α，则α称为f（x）的不动点.利用不动点可将非线性递推关系转化为常规数列求解.我们不加证明的引入三个定理来辅助利用不动点法求通项.
定理1：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），数列an有初始条件a0≠f（x）及递推关系an=f（an-1）（n≥0）确定，那么当且仅当α=-■是f（x）的不动点时，有an-α=a（an-1-α）2.
定理2：设f（x）=■（c≠0，ad-bc≠0），数列an有初始条件a0≠f（a0）及递推关系an=f（an-1）（n≥1）确定，那么：
（1）若α≠β，且α、β是f（x）的两个不相等的不动点时，有■=k■，其中k=■.
（2）若α是f（x）的唯一不动点时，有■=■+k，其中k=■.
定理3：设f（x）=■（ad≠0），数列an有初始条件 a0≠f（a0）（n≥1）及递推关系an=f（an-1）（n≥1）确定，那么当且仅当 b=0，d=2a，α、β是f（x）的两个不相等的不动点时，有■=
（■）2（n≥1，α≠β）.
举例1：若数列an满足a1=1，且an+1=an2+6an+6（n∈N*），求通项an.
【解析】依题f（x）=x2+6x+6，解x=x2+6x+6可知f（x）的对称轴x=-3刚好是f（x）的一个不动点，则由定理1可得an+1+3=（an+3）2，所以an+3=（an-1+3）2=（an-2+3）2■=…=（a1+3）2■，所以an=42■-3
举例2：若数列an满足a1=5，且an+1=■，n=1，2…，求通项an.
【解析】解方程x=■得x1=1，x2=-1，则■=■=■=■■，故■=■（■）n-1=3×（■）n，解得：an=■.
评注：由定理2（1）可知两个不动点不相等时，通过构造可得新数列是等比数列.
举例3：若数列an满足a1=2，且an+1=■，求通项an.
【解析】解方程x=■得x1=x2=1，依据定理2可得■=■+1，所以■=■+（n-1）×1，所以an=■+1=■.
评注：由定理2（2）可知两个不动点相等时，通过构造可得新数列是等差数列.定理3的应用读者可自行举例体会.
三角代换是代换法中运用频率较高的一种方法，主要的原理在于下列几个三角关系式：sin2x+cos2x=1，tan2x+1=■，1+cos2x=2cos2x，1-cos2x=2sin2x.
举例4：已知a0=■，an+1=■■，求通项an.
【解析】因为a0=sin■，设an=sin■，由已知递推关系式得：
an+1=■■=sin■，所以an=sin■.
举例5：（1）若数列an满足a0=1且an=■，求通项an.
（2）若数列bn满足b1=■且bn+1=■，求通项bn.
【解析】依据另三个三角代换关系式，参照例4的方法不难得到an=tan■，bn=2cos■.
参考文献：
[1]李名德，李胜宏.高中数学竞赛培优教程.浙江大学出版社，2011-01.
[2]刘诗雄，熊斌.高中竞赛数学教程.武汉大学出版社，2005-12.
（作者单位 福建省泉州南安一中）