立几中“外接球”问题初探

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摘要：外接球有关计算问题在近年高考试题中屡见不鲜，本文就长方体、正方体及棱锥的外接球有关问题，给出了特殊解法。

关键词：巧解;外接球;问题

【中图分类号】G633.6

有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是近年高考考查的一个热点.而正方体模型和长方体模型是学习立体几何的基础，掌握这两种模型，对于学生理解立体几何的有关问题起着非常重要的作用，本文通过近年来部分高考试题中外接球的问题谈几种解法。

一、以正方体为载体的外接球的有关问题

例1:（2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该

球的表面积为____________.

解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π.

例2：(2008 天津理) 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体

积为 ，则该正方体的表面积为____________．

解析：要求正方体的表面积，先得求出正方体的棱长，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由球的体积可求出球的半径是 ，从而求出正方体的体对角线是 ，所以正方体的棱长为2，故该正方体的表面积为24.

例3： (2012 辽宁理) 已知正三棱锥P-ABC，点P,A,B,C都在半径为 的球面上，若PA,PB,PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为.

解析：因为PA,PB,PC两两互相垂直，故正三棱锥

P-ABC的外接球即是以PA,PB,PC为棱的正方体的外接

球.所以球心到截面ABC的距离即为球半径减去正三棱锥

的高.设PA=PB=PC=a，则3a2=4R2=12,所以a=2.设正三棱锥P-ABC的高为h，

则 ，解得 = ，故圆心到截面ABC的距离为 .

例4：（2003年全国卷）一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面

上，则此球的表面积为（ ）

A. 3πB. 4πC.D.6π

解析：四面体S-ABC中，SA=SB=SC=AB=BC=AC= ，由此可以联想到正方体这个载体，可求得正方体的棱长为1，体对角线为 ，从而外接球的直径也为 ，所以此球的表面积便可求得，故选A.

例5：（2008年浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC， ，则球O的体积等于 .

解析：由于DA平面ABC，ABBC，联想长方体中的相应线段关系，构造如图所示的长方体，又因为 ，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O的体积等于 .

例4图例5图例6图

例6：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABBC，AA1=AB=BC=2,三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______________.

解析：由已知可构造一个正方体，则球的半径等于正方体体对角线的一半，即半径等于 ，球的表面积等12π。

二、以长方体为载体的外接球的有关问题

例7:（2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点

上的三条棱长分别为1，2，3，则此球的表面积为_______.

解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为 ，故球的表面积为14π.

例8:（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为

16，则这个球的表面积为（ ）.

A. 16πB. 20πC. 24π D. 32π

解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例7，故选C.

例9:（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB平面BCD，

BCDC，若 ，则B、C两点间的球面距离是______.

解析：首先可联想到例5，构造右图的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，OB=OC=4为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出∠BOC即可，在RtΔABC中，求出BC=4，所以∠BOC=60°，故B、C两点间的球面距离是 .

例10：(2012 辽宁文) 已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2 的正方形。若PA=2 ,则ΔOAB的面积为_____________.

解析：因为PA平面ABCD,四边形ABCD是边长为2 的正方形,所以可

以构造长方体。由已知可得PC2=PA2+AB2 ，所以故 .球心O

就是体对角线的中点，即可得 ,所

以三角形 是正三角形，故 .