“设而不求”解题技巧在初中数学中的应用

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摘 要：初中数学课程中的大部分题目通常可以采取"先设后求"法得到有效解答，但部分情况下，可能会因思维定式导致一些题目的解题过程反而变得繁杂，因而教师还需要在常规教学的同时，引导学生逐渐掌握"设而不求"解题技巧，开拓解题的新思路，在提高解题效率的同时也提高了学生的学习趣味性，培养学生的积极思考与主动探索能力。本文选取初中数学中的代表性知识点对"设而不求"解题思路的应用进行了分析。

关键词：设而不求 解题技巧 应用 分析

“设而不求”是数学解题中的常见技巧，相比“先设后求”方法，“设而不求”将解题过程由繁变简，从而有效降低了解题难度，结合初中数学中的代表性知识点，对“设而不求”技巧分析如下。

一、“设而不求”的概念

结合某直角三角形的求面积问题对“设而不求”问题的概念进行分析。已知该直角三角形周长为 cm，其斜边中线的长度为1cm，据此计算三角形面积。解题思路如下：

将该三角形的斜边长度设为z，由于斜边中线的长度为1cm，据此可以得出其斜边长z=2cm，那么再将两直角边的长度设为x，y，总面积为S，根据以上条件可以列出方程[1]

x+y+2= （1）

x+y=2 （2）

（3）

由步骤（1）可知x+y=

将等式两边进行平方可得x2+y2+2xy=6

再将步骤（2）与（3）带入到方程式x2+y2+2xy=6中，简化可得

4+4S=6

因而S=0.5，即三角形面积为0.5cm2。

本题中，只要求了求面积S数值，但通过使用“设而不求”，在设置未知量时多设置了x与y两个未知数，利用各未知数之间的联系，建立等量式，利用方程最终算出S的数值，x和y就是典型的“设而不求”数值 。[2]

“设而不求”中所设的未知数，我们又称之为辅助元素，作为为了解决问题而增设的参数，能够有效联系题中给出的数量间关系，从而发挥桥梁连接作用，联系未知数和已知数。[1]

二、利用“设而不求”解分数方程中的未知数

以某分数方程题为例，对解答分数方程时“设而不求”技巧的应用进行分析：

题目：现有可约分数 ，求自然数n的最小值。

解题思路分析：

既然已知分数 可约分，则不妨设分数和分母两者的公因数为x，且x>1。

另外设分子n-13=xm1 （1）

分母5n+6=xm2 （2）

且m1 ，m2均为自然数。

则由方程（1）可知n=13+ xm1

将此方程带入方程（2）则可得出等式5（13+ xm1）+6= xm2

进而得出71+5 xm1= xm2，化简为x（m1-5 m2）=71

考虑到71为质数，且x>1的自然数，因而x=71

得出n= m1×71+13，n的最小值为84

综上所述，在解答分数方程式时，通常可以合理使用“设而不求”解题技巧，一般情况下为先设定未知数，再逐渐带入分式，利用分数分子与分母间的关系和分数特质，得出多个解答方程式，联系这些式子进行演算，进而得出最终答案。[3]

三、利用“设而不求”解答几何问题

以某几何问题为例，对解答分数方程时“设而不求”技巧的应用进行分析：

题目：在某直线上一次存在四个点，分别为A、B、C、D，证明AD？BC+AB？CD=AC？BD。

解题思路分析：

证明 设AB=x，BC=y，CD=z

那么根据直线特性可知AD？BC+AB？CD=（x+y+z）？y+xz=y（x+y）+z（x+y）=（x+y）（y+z）=AC？BD

综合该题解题步骤及思路，可知引入代数方面的知识可以使得几何证明问题更加简单。灵活的运用代数知识解答几何问题，能够有效简化原有的证明题，通过“设而不求”技巧的运用，能够有效降低几何题整体难度，促进学生更快掌握解题方法，培养解题思路。上题中所设线段长度，在进行证明的过程中，发挥了良好的桥梁连接作用，优化了证明过程，要证明的问题更加明晰 。[2]

四、利用“设而不求”转化方程问题

以某方程题为例，对解答分数方程时“设而不求”技巧的应用进行分析：

题目：现有方程x2-11x+（30+K）=0有两个根，且均大于5，求实数K取值范围。

解题思路分析：

设y=x-5，则x=y+5那么

原方程可以变换为y2-y+K=0

又因为x>5，故而y>0

所以原方程有两根且均为正根

那么（-1）2-4K≥0，且K>0，最终得出0

综合上述解题思路及步骤，在方程问题的解题过程中，首先应该找到各知识之间的联系点，才能有效解决问题，在此基础上，通过运用“设而不求”方法，把较为复杂的原方程式进行简化，最终解题的方法就是寻找相应字母来代替代数式。在例题中，已知方程的两根大于5，那么为了得出新方程，设根减5为新的未知数即可，最终由两根均为正根得出实数K的范围[3]。

另外，在实际运用“设而不求”解题技巧时，需要引导学生明确设立未知参数。在参数设置时，引导学生只求必要参数，找到关键参数，还要培养学生准确总结关系式的能力，避免学生解题绕远路。最终总结出关系式后，要进一步消除不必须的参数，结合韦达定理等方程常见定理与计算方法，得出答案。[4]

结束语：

“设而不求”的解题技巧，立足于数学问题的整体结构意义，又注重后期的灵活变式与整体思想的合理运用[4]。能够有效拓宽学生的整体思维领域，培养学生在数学解题过程中广泛发散思维，灵活变通。尤其是针对代数与解析几何等数学问题，巧妙的“设而不求”能够发挥明显作用，最大程度上减轻计算量，精简计算过程，有效提高整体解题效率。在难度较大的应用题解题时，适当采用“设而不求”方法也能让题目相对简化。随着数学教学方法的丰富化，教师在课堂上应该结合课本基础知识，充分培养学生的“设而不求”解题能力，从而有效提高教学质量。

参考文献：

[1]李金芳.浅议初中数学中“设而不求”的解题技巧[J].考试周刊，2011（78）

[2]毛庆荣.如何用“设而不求”解数学题[J].语数外学习（初中版中旬），2012（08）

[3]何永荣.初中数学“设而不求”解题技巧初探[J].数学大世界（教师适用），2012（10）

[4]彭翔.设而不求在初中数学解题中的应用[J].理科考试研究，2013（22）