一类特殊定积分的几何解法

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【摘要】对于教材中出现的一类特殊定积分进行归纳、推广后，探讨该类定积分的几何解法.

【关键词】定积分；几何解法；面积

【中图分类号】O172.2

高等数学或微积分教材的例（习）题中常出现∫r-rr2-x2dx或∫r0r2-x2dx（r>0，设下文涉及的r皆大于零）类型积分的计算，有时在计算一些复杂定积分的中间过程中也会出现这类积分，例题讲解时用的是三角代换x=rsint求解，过程较为繁琐（当然三角代换作为一种换元积分法是应该而且必须掌握的，但这并不妨碍我们探寻更简便的解法），更简单的是用定积分的几何意义求解（简称“几何解法”）.事实上，深入分析后发现形如∫rkr2-x2dx（-r≤k

1.下面对定积分I=∫rkr2-x2dx（-r≤k

（1）当k=-r时，I=∫r-rr2-x2dx的值等于以原点为中心，r为半径的圆面积的一半，即I=1[]2π·r2（如图1阴影部分所示）.

（2）当k=0时，I=∫r0r2-x2dx的值等于以原点为中心，r为半径的圆面积的四分之一，即I=1[]4π·r（如图2阴影部分所示）.图 1图 2 图 3 图 4

（3）当-r

（4）当0

在情形（3）（4）中计算RtAOk的面积时也可以先用勾股定理求出另一条直角边Ak长度后再计算.

2.应用举例

例1 求定积分∫2-14-x2dx的值.

解 由上述情形（3），k=-1，求得α=arccos-1[]2=2π[]3，则

∫2-14-x2dx=1[]222·2π[]3+1[]2r·1·sin2π[]3=4π[]3+3[]2.

例2 求定积分∫1[]202x-x2dx的值.

解 根据该积分特点可以先换元再求解.

令t=1-x，则∫1[]202x-x2dx=∫1[]211-t2d（1-t）=∫11[]21-t2dt.

由上述情形（4），先求得α=arccos1[]2=π[]3，则

∫11[]21-t2dt=1[]2·12·π[]3-1[]2·1[]2sinπ[]3=π[]6-3[]8.

例3 填空：∫20x2x-x2dx=.（2012年全国硕士研究生入学统一考试数学试题第（10）题）

解 根据该积分特点可以先换元再求解.

令t=1-x，则x=t+1.

∫20x2x-x2dx=∫1-1（1+t）1-t2dt=∫1-11-t2dt+∫1-1t1-t2dt=∫1-11-t2dt（其中∫1-1t1-t2dt=0用到奇函数在对称区间上积分的特性）.

由上述情形（1），∫1-11-t2dt=1[]2π·12=π[]2，故应填π[]2.

综上所述，在遇到计算形如∫rkr2-x2dx（-r≤k

【参考文献】

[1]朱来义.微积分[M].3版.北京：高等教育出版社，2009：147-197.

[2]朱来义.微积分[M].2版.北京：高等教育出版社，2004：155-188.

[3]同济大学数学系.高等数学：上册[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：223-293.

[4].