丰富多彩的函数奇偶性\对称性\周期性

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函数奇偶性、对称性、周期性关系的复杂性，带来研究的灵活性和高考命题频率高的特性.

一、 奇偶性、对称性与周期性

定理1 ： 设y=

f (x)是定义在

R上的奇函数，它的图象关于直线x=a对称（a为不等于零的常数）.那么

（Ⅰ）y=f (x)是周期函数；

（Ⅱ）若y=f (x)的图象在

x=-a和

x=a之间无对称轴，则y=f (x)的最小正周期T=4|a|.

证明 ：（Ⅰ）因y=f (x)是定义在

R上的奇函数，所以对于任意的x∈

R都有

f (-x)=-f (x).所以f (4a+x)=f ［2a-(-2a-x)］

=f (-2a-x)=

-f (2a+x)=-f ［2a-(-x)］=-f (-x)=f (x).

即

y=f (x)是以4a为一个周期的周期函数.

（Ⅱ）假设T0是

y=f (x)的最小正周期，且T0

1° 当a>0时，由T0

T0

所以-a

因为T0是y=f (x)的最小正周期，

所以-T0也是y=f (x)的一个周期.

由f (-T0+x)=f (x),f (2a-x)=f (x),

得f (-T0+x)=f (2a-x).

所以x=2a-T0 2是y=f （x）图象的一条对称轴，与已知

y=

f（x）图象在x=-a和x=a之间无对称轴矛盾.

2° 当a

由f (T0+x)=f (x)，f (2a-x)=f (x)，

得f (T0+x)=f (2a-x).

所以x=2a+T0 2是

y=f (x)图象的一条对称轴，与已知

y=f (x)图象在

x=-a和x=a之间无对称轴矛盾.

综合1°、2°可知，

y=f (x)的最小正周期T=4|a|.

定理2 ：设

y=f (x)是定义在

R上的偶函数，它的图象关于直线x=a对称（a是不等于零的常数）.那么

（Ⅰ）y=f（x）是周期函数；

（Ⅱ）若y=f（x）的图象在x=0和x=a之间无对称轴，则y=f（x）的最小正周期T=2|a|.

定理3 ：设y=f（x）是定义在

R上的函数，f（a+x）=f（a-x）和f（b+x）=f（b-x）

对于x∈

R恒成立（a、b为常数，且b>a）.那么

（Ⅰ）y=f (x)是周期函数；

（Ⅱ）若y=f (x)的图象在x=a和x=b之间无对称轴，则y=f (x)的最小正周期T=2（b-a）.

注:这三个定理证法类似，故只证定理1.

二、奇偶性、周期性与对称性

定理4 ：如果y=f (x)是定义在

R上的偶函数，且是以a为最小正周期的周期函数，那么

y=f (x)图象的所有对称轴方程是

x=ka 2(k∈

Z).

证明 ：因为y=f (x)是定义在

R上的偶函数.

所以f (-x)=f (x).

又y=f x)是以a为最小正周期的周期函数.

所以ka (k∈Z且k≠0)也是

y=f (x)的周期.

有f (ka+x)=f (x),f (ka+x)=f (-x).

则x=ka 2是y=f (x)图象的对称轴方程，

又x=0也是y=f (x)图象的对称轴方程,

所以x=ka 2(k∈

Z)是

y=f (x)图象的对称轴方程.

假设y=f (x)图象在x=0和

x=a 2之间还有一条对称轴

x=x0且0

那么T=2(a 2-x0)=a-2x0,是y=f (x)的一个周期.

而0

a是y=f (x)的最小正周期相矛盾.

所以y=f (x)图象的所有对称轴的方程是

x=ka 2(k∈

Z).

定理5 ：设

y=f (x)

是定义在

R上的奇函数，且是以a为最小正周期的周期函数.如果

y=f (x)的图象关于直线

x=a 4对称，那么

y=f (x)图象的所有对称轴方程是

x=ka 2

+a 2(k∈

Z).

注: 定理 5与定理4的证法类似故从略.

三、奇偶性、对称性、周期性的应用

例1 （1996年高考题）设f（x）是（

-∞,+∞）上的奇函数，

f (x+2)=-f (x).当0≤x≤1时， f（x）=x.则f（7.5）等于（ ）

(A) 0.5 (B) -0.5(C) 1.5(D) -1.5

分析 ：y=f (x)的对称轴是x=1，根据定理1可知

y=f (x)是以4为周期的周期函数，不难作出选择(B).

例2 （2001年高考题）设f (x)是定义在

R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，证明f(x)是周期函数.

分析 ：这是2001年高考文理科压轴题，主要是考查函数的概念、图象，函数的奇偶性、对称性和周期性的相互关系.解题的突破口是找出满足该函数的一个周期.根据定理2，不难找出它的一个周期是2 .此时，由题设条件和周期函数的定义，就很容易证明了.

例3 函数y=f (x)定义在

R上，对于任何x∈

R都有

f (2+x)=f (2-x)和f (7+x)=f (7-x)成立.若

x=0是方程

f (x)=0的一个根，求方程f (x)=0在闭区间［-1000,1000］上至少有几个根.

解 :根据定理3，

f (10+x)= ［14-(4-x)］=f (4-x)=f (x)

所以，y=f (x)是以10为周期的周期函数.

由

f (10+x)=f (x)

得f (10)=f (0)=0.又

f (4)=f (0)=0.

所以f (x)=0在一个周期内至少有两个根.

所以，方程f (x)=0在闭区间［-1000,1000］上至少有

［(1000+1000)÷10］×2+1=401

（个根）.

例4 （1991年高考题）函数

y=sin(2x+5π 2)的图象的一条对称轴方程是( )

(A) x=-π 2 (B)

x=-π 4

(C) x=π 6〖DW〗(D)

x=5π 4

解 :根据定理5，函数的所有对称轴方程是：

2x+5π 2

=kπ+π 2,

即x=kπ 2-π (k∈

Z).故选(A).