锐角三角函数的应用
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇锐角三角函数的应用范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
锐角三角函数的函数值与三角形的边和面积之间存在这样的关系:
S■=■ac·sinB =bc·sinA=ab·sinC.
下面我们进行分类讨论此公式的正确性.
1.如图,在锐角ABC中,若AB=c,BC=a,∠B=α,求证:
S■=■ac·sinB.
证明:过点A作ADBC于点D
AB=c,BC=a,∠B=α
AD=AB·sinα 即AD=c·sinB
S■=■BC·AD=■ac·sinB
同理可证:S■=■bc·sinA=■ab·sinC.
2.如图,在RtABC中,若∠C=90°,AB=c,BC=a,∠B=α,求证:S■=■ac·sinB.
证明:AB=c,BC=a,∠B=α
AC=AB·sinα即AC=c·sinB
S■=■BC·AC=■ac·sinB
同理可证:S■=■bc·sinA=■ab·sinC.
3.如图,在钝角ABC中,若AB=c,BC=a,∠B=α, 求证: S■=■ac·sinB.
证明:过点A作ADBC于点D
AB=c,BC=a,∠B=α
AD=AB·sinα 即AD=c·sinB
S■=■BC·AD=■ac·sinB
同理可证:S■=■bc·sinA=■ab·sinC.( 求sinA的值可利用诱导公式)
二、锐角三角函数和勾股定理的关系
锐角三角函数与勾股定理二者有着紧密的联系,可以说勾股定理的存在导致三角函数值的诞生,二者的结合使生活中许多几何问题能够迎而解.我们在应用三角函数的同时,也在应用着勾股定理.三角函数值是一个比值,这个比值的得出,是根据勾股定理得到直角三角形三边的数值而得到的.正是由于直角三角形的三边的数值,我们可以得到直角三角形两条直角边的比值,那么也就得到三角函数的正切和余切的值,同时我们也能得到两条直角边和斜边的比值,也就是得出三角函数的正弦和余弦的值.
三、锐角三角函数在生活中的应用
锐角三角函数在现实生活中有着广泛的应用,“不上高山,能测山高;不下湖泊,能量河宽”,正是三角函数应用的独特魅力所在.同时锐角三角函数在生活中也突出体现其基础性、普及性和发展性.在应用三角函数解决各类实际问题时,建立数学模型就是十分关键的一步,同时也是很困难的一步.建立数学模型的过程,是把错综复杂的问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.在建立数学模型中,会更有利于发挥我们的主动性、创造性,让我们能把学习知识、应用知识、探索发现更好地结合起来.下面用一个实例来体会三角函数在生活中的重要应用.
如图,为测量小河的宽度,先在河岸边任意取一点A,再在河的另一岸取两点B、C,测得∠ABC=45°,∠ACB=30°,量得BC长为20米.求小河的宽度.
解:过点A作ADBC,垂足为点D,
设AD=x,在RtABD中,
∠ABC=45°
ABD为等腰直角三角形.
BD=AD=x.
在RtABD中,
∠ACB=30°
tan30°=■=■,
CD=■=■=■x
BD+CD=BC=x+■x=20,
x=■
= 10(■-1)(米).
答:小河宽度是10(■-1)米.
总的来说,锐角三角函数的应用,实际上是对运用知识解决问题能力的应用.从对三角函数应用的理解,知识的概括、抽象,求解直角三角形、建立模型至问题的解决,每一步都与锐角三角函数密切相关.在锐角三角函数应用过程中,我们可以逐步体验到数学来源于生活有服务于生活,数学还能够帮助我们解决其他学科的问题,真正体现数学作为基础学科的重要性.