浅议数列通项公式的求法

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【摘要】本文根据教学经验结合高考题，浅谈求数列题的常用策略：化归转化策略，数列问题常可化归为等差（等比）数列或化归为我们熟悉的数列问题去求解，就数列通项公式的几种初等求法作一总结.

【关键词】通项公式；递推公式；求法

一、公式法

例1 数列{an}为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1=3，b1=1，数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S2=64.求an，bn.

解 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，

an=3+（n-1）d，bn=qn-1.

依题意有ban+1[]ban=q3+nd[]q3+（n-1）d=qd=64=26，

S2b2=（6+d）q=64.

①

由（6+d）q=64知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一.

解①得d=2，q=8.故an=3+2（n-1）=2n+1，bn=8n-1.

评注 这类问题的递推式为an+1=an+d及an+1=aqan（d，q为常数）时，可直接转化为等差数列或等比数列从而用公式求解.

二、已知数列前n项和Sn求通项an

例2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*.设bn=Sn-3n.求数列{bn}的通项公式.

解 依题意，Sn-1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，

由此得Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）.

因此，所求通项公式为bn=Sn-3n=（a-3）2n-1，n∈N*.

评注 这类问题往往能从题目中得到数列的前n项和Sn和通项an的关系式，通常

利用公式an=S1， （n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2）求通项.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即将a1和an合为一个表达式.

三、叠加法或叠乘法

类型1 若数列{an}，通项公式满足递推公式：an+1=an+f（n），f（n）为可求的和.an=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1+a1=f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）+a1.

类型2 若数列{an}，通项公式满足递推公式：an+1=an·f（n），f（n）为可求的积.an=an[]an-1·an-1[]an-2·…·a3[]a2·a2[]a1=f（n-1）f（n-2）·…·f（1）a1.

例3 在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1，（n≥2，q≠0）.

（Ⅰ）设bn=an+1-an（n∈N*），证明{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式.

解 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

a2-a1=1，

a3-a2=q，

……

an-an-1=q2，（n≥2）.

将以上各式相加，得an-a1=1+q+…+qn-2，（n≥2）.

所以当n≥2时，an=

1+1-qn-1[]1-q，q≠1，

n，q=1.

上式对n=1显然成立.故通项为

an=1+1-qn-1[]1-q，q≠1，

n，q=1.

评注 一般地，对于形如an+1=an+f（n）类的通项公式，只要f（1）+f（2）+…+f（n）能进行求和，则宜采用此方法求解，称之为叠加法.

另外，对于形如an+1=f（n）·an类的通项公式，当f（1）·f（2）·…·f（n）的值可以求得时，宜采用此方法，称之为叠乘法.

例如：已知数列{an}满足a1=1，Sn=（n+1）an[]2，（n∈N），求{an}的通项公式.

析 2Sn=（n+1）an，（n∈N），2Sn-1=nan-1，（n≥2，n∈N），

两式相减得2an=（n+1）an-nan-1，an[]an-1=n[]n-1，（n≥2，n∈N）.

于是有a2[]a1=2[]1，a3[]a2=3[]2，a4[]a3=4[]3，…，an[]an-1=n[]n-1，（n≥2，n∈N）.

以上各式相乘，得an=na1=n，（n≥2，n∈N），又a1=1，an=n，（n∈N+）.

四、构造等差数列或等比数列

若数列{an}，通项公式满足递推公式：an+1=pan+q，p，q为常数，p=1时为等差，q=0时为等比.当p≠1，q≠0时，有以下两种构造形式：

构造1 由等式的两边除以pn+1可得：an+1[]pn+1=an[]pn+q[]pn+1，转化类型1，可求其通式.

构造2 设存在α，使得an+1+α=p（an+α），解得α=q[]p-1，即 an+1+q[]p-1=pan+q[]p-1，则an+q[]p-1以a1+q[]p-1为首项，p为公比的等比数列，可求其通式.

求数列通项是学习数列时的一个难点，也是高考中的一个重点.由于求通项公式时渗

透了大量的数学思想方法，如逻辑方法中的归纳与演绎，类比、分析与综合，非逻辑方法中的反思维定式等，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强.本文力图通过归纳，引导读者不仅关注一类题的解法（通法），也要在归纳中反思数学思想方法，从而让数学思想方法能更广泛、深入地运用于数学学习之中.

【参考文献】

[1]李盘喜.高中数学解题题典.长春：东北师范大学出版社，2001.

[2]牛德胜.中学数学1+1.南方出版社，2003.