从点的坐标到图形面积

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已知一个图形各个顶点的坐标，确定这个图形的面积问题在学习中屡见不鲜． 解答这类问题时，除了要注意直接利用或创造条件利用一些基本图形的面积计算公式外，尤其还要注意利用如下知识：

1． 坐标系中任意一点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值．

2． 横坐标相同的两点之间的距离等于它们纵坐标之差的绝对值，纵坐标相同的两点之间的距离等于它们横坐标之差的绝对值．

现举例介绍如下：

例1如图，梯形ABCD四个顶点的坐标分别为A（1，2）、B

（－1，－1）、C（4，－1）、D（3，2），求梯形ABCD的面积．

分析：由条件，AD、BC的长可以确定． 要求梯形ABCD的面积，关键在于确定它的高．

解：过点A作AEBC于点E，则点E的坐标为（1，－1）．

因为点A与点D、点B与点C的纵坐标分别相同，

所以AD＝2，BC＝5．

因为点A与点E的横坐标相同，所以AE＝3．

从而S=（AD+BC）•AE=10.

例2 如图，ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（－3，

－2）、C（4，0），求ABC的面积．

分析：ABC的任意一边及对应边上的高都难以确定，不能直接利用三角形的面积公式确定ABC的面积． 由于ABC被y轴一分为二，但BC与y轴的交点根据现有的知识又无法找到，则考虑分割的方法也难以确定ABC的面积． 怎么办呢？只有将ABC补充成一个面积容易确定的特殊图形，再借助面积差确定ABC的面积．

解：将ABC补充成长方形BDEF，且EF过点A，DE过点C，长都与x轴平行，宽都与y轴平行，则点D的坐标为（4，－2）、点E的坐标为（4，3）、点F的坐标为（－3，3）．

因为BD＝7，DE＝5，

所以S=BD•DE=35．

因为CD＝2，CE＝3，AE＝4，AF＝3，BF＝5，

所以S=BD•CD=7，

S=AE•CE=6，

S=AF•BF=7．

从而S=S-S-S-S=14．

例3 如图，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A（－3，5）、B（－4，0）、C（3，0）、D（1，3），求四边形ABCD的面积．

分析：四边形ABCD的形状不规则，要求其面积，应将其分割为一些规则的图形． 注意到点B和点C都在x轴上，则可过点A和点D分别作x轴的垂线．

解：过点A作AEx轴于点E，过点D作DFx于点F，则点E的坐标为（－3，0），点F的坐标为（1，0）．

因为点A与点E、点D与点F的横坐标分别相同，

所以AE＝5，DF＝3．

因为点B、点E、点F、点C都在x轴上，

所以BE＝1，EF＝4，CF＝2．

所以S=BE•AE=2，

S=（AE+DF）•EF=16，

S=CF•DF=3.

从而S=S+S+S=21.