竖直平面内圆周运动临界问题的归纳及拓展

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竖直平面内的圆周运动，常见的有这样四种类型：①细绳拉着小球在竖直平面内的圆周运动；②小球在竖直放置的光滑圆环内侧做圆周运动；③小球固定轻杆上在竖直平面内做圆周运动；④小球在竖直放置的光滑细管中做圆周运动.

■ 1. 知识梳理

这四种类型归纳起来可以分成两大类，涉及到的问题通常是这样两类：①做完整圆周运动的条件；②在最高点处的临界特征. 表1可以清楚地显示出这两大类问题.

■ 2. 知识辨析

（1） 恰能过最高点不等于速度恰为零

从表1中可以看出，③与④两种情景下，恰能过最高点的速度为零；而①与②两种情景下，恰能过最高点的速度为v=■.

（2） 恰能过最高点并不是小球与绳、杆或轨道间的相互作用力为零

（3） 不管是上述四种类型中的哪一种，若小球到达轨道最高点处，当其与绳子、杆或轨道间的相互作用力为零时，速度v=■.

■ 3. 知识拓展

在第③④两种情景中，小球与轨道无相互作用的位置也可以在其它位置出现. 下面举例说明.

■ 情景 如图1所示，竖直平面内有一个细圆管，它的轨道半径为r，管的粗细可以忽略不计，一个质量为m的小球恰能在管道内无摩擦运动，若小球经过最高点时的速度为v0，小球经过某一位置时恰好和轨道无作用力. 试找出与轨道无作用力的位置.

■ 解析 假设小球与圆心的连线与竖直方向的夹角为θ时，对轨道的压力恰好为0，此时的速度大小为v，此时小球只受重力作用，将重力分解为径向和切向，如图2所示.

由牛顿第二定律可得：

mgcosθ=m■

小球从最高点到该位置过程中，由动能定理可得：mgr（1-cosθ）=■mv2-■mv20，联立两式可得：

v0=■.

要使上式有解，则3cosθ-2≥0，

得θ≤arccos■，0≤v0≤■.

也就是说，要使小球对内外轨道均无压力，小球在最高点的速度必须满足0≤v0≤■，对轨道无相互作用力的位置出现在与竖直方向的夹角为θ≤arccos■的范围内.

讨论：

① 若小球在最高点处时速度为零，则小球与轨道无压力的位置出现在θ=arccos■，关于最高点对称的两个位置处.

② 若小球在最高点的速度为v0=■，则小球与轨道无压力的位置在最高点处.

③ 若小球的速度介于0≤v0≤■的任一值时，都可找到与轨道无相互作用力的位置，并且在最高点速度越大，该位置越高.