割补法在立体几何中的运用

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通过将某一图形分割或补充为比较简单的图形或特殊的图形来研究的方法称为割补法。在高中立体几何的棱柱的侧面积公式的证明，棱锥的体积公式的推证中，已经接触过这―解题的思想方法，它是解决空间问题常用的方法。对于某些较复杂的问题或拟柱体问题，如果割补法运用得当，可以把复杂问题转化为较简单的问题，从而可以简化运算及论证过程。下面结合例子谈谈割补法在解题中的应用。

一、利用割补法求两异面直线所成的角

例1，已知直线L上有两定点A、B，AC L，BD L，若AB=AC=BD= ，且AC、BD所成的角为120°，求AB、CD所成的角。

分析：根据条件所得的图形不够直观，难以得出交角，故把它补成―个直三棱柱，如图1：

由CF||AB可得：

DCF就是两异面直线AB、CD所成的角。通过解三角形即可求得AB、CD所成的角。

注：此题通过把原图补成―个直三棱柱，相当于把AB平移到CF，则两异面直线所成的角就明显了。

例2，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是非a、b、c、d（a>b），求AC与BD所成的角的余弦。

分析：在长方体ABCD-A1B1C1D1的相邻处补上一个全等的长方体，如图2：

连结C1B2，AB2，则B2C1//BD，可得： AClB2就是ACl与BD所成的角。在 AB2C1中

AB2= C1B2=

Cl A=

cos AClB2=

注：在原几何体中亭吐一只类似的几何体，就能起到线段的平移作用。

二、利用割补法求体积

例3，如图3 在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长3的正方形，EF//AB，EF= ，EF与平面AC的距离为2，则该多面体的体积为（ ） （A） （B） 5 （C） 6 （D）

法一，分析：多面体ABCDEF是属于拟柱体类的几何体，把它补成―个三棱柱，则

V多面体ABCDEF=VBCF-AGD-VE-AG

= ×3×2×3- × ×3×2× =

正确答案为D

法二，分析：如图4，连结BE，CE，则平面BEC把这一多面体分割为四棱锥E-ABCD和三棱锥E-BCF，

V多面体ABCDEF=VE-ABCD+VE-BCF

由于VE-ABCD= ×9×2=6

V多面体ABCDEF>6

从而确定正确答案为D。

一般拟柱体的求积问题，通常通过割补的方法转化为特殊几何体的求积问题。

三、割补法在证明中的应用

例4，如图5，正四棱锥S-ABCD的侧面都是正三角形，求证它的相邻两个侧面所成的二面角是侧面与底面所成的二面角的二倍。

分析：作SO 底面ABCD，取AB的中点E，SD的中点F，连结OE，AF，CF，易证 SEO是侧面与底面所成的二面角的平面角， AFC是两侧面所成的二面角的平面角。

为了证明 AFC=2 SEO，延长SO到S'，取S'O=SO，连结S'A，S'B，S'C，S'D，相当于把正四棱锥S-ABCD补成了一个正八面体，则 SES'=2 SEO，故只须证明 SES'= AFC即可，即只须证明 SES' AFC即可。

例5，正三棱柱ABC―AlBlCl中，ABl，BCl，CAl分别是侧面的对角线，已知AB1 BC1，求证：AB1 AC1

分析：如图6，以面ABl为侧面补一个与原三棱柱全等的三棱柱ABD―AlBlDl，则四棱柱ABCD―AlBlClDl是一个底面是菱形的直四棱柱，连结BD1，DlC1，则A1B1 C1D1，由三垂线定理易证：

AB1 C1D1，又 AB1 BCl， AB1上面BDl C1

AB1 BD1，而A1C// BD1， AB1 A1C