利用平面向量解决三角函数问题

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对于三角函数问题的解决方法，大多数都有它的常规解决方法（如利用诱导公式，两角和、差的公式，倍、半角公式），但这些常规的、套路式的解法虽具有可操作性，但在整个解决的过程就不一定简单，特别在选择、填空题中，显得科学性不够，时效性差，下面就化简求值型与最值问题，来对比较常见解法与向量解法的可行性及时效性。

一、化简求值

例如：cosθ+cos（θ+ ）+cos（θ+ ）= 。

解法一：应用和角公式展开第二、三项，合并后得出结果，可行但过程较繁琐，需花费大量的时间。

解法二：可利用和差化积公式，观察算式特点，结合第一、三项，保留第二项，化简后也可，并且过程较解法一简单，但此类公式不属于学生记忆范围，就算公式以已知形式给出，学生应用起来也不会得心应手。

解法三：我们应用向量知识来解决，此题可看成是互成120°的三个单位向量的合向量在x轴上的分向量，图1所示：互成120°

的三个单位向量的合向量为零向量。即cosθ+cos（θ+ ）+

cos（θ+ ）=0。

同理：cosθ+cos（θ+ ）+cos（θ+ ）+cos（θ+

）=0。

cos +cos（θ+ ）+cos（θ+ ）+cos（θ+ ）

+…cos（θ+ ）=0。

结论：若n个角的终边n等分圆，则这n个角的正、余弦值的和为零。

即：cosθ+cos（θ+ ）+cos（θ+ ）+cos（θ+ ）

+…cos（θ+ ）=0。

sinθ+sin（θ+ ）+sin（θ+ ）+sin（θ+ ）

+…sin（θ+ ）=0。

二、最值问题

1.不同系数同名三角函数

如：求a cos（θ+20°）+b cos（θ+80°）的最大值。

方法一：利用和角公式展开cos（θ+20°）与cos（θ+80°）后合并化简，但因为度数不统一且不为特殊角，不容易展开解决。

方法二：配凑相同角，把θ+80°化成（θ+20°）+60°，可

行但过程中要用辅助角公式a sinθ+b cosθ= sin（θ+ ），

其中tan = ，学生在应用上仍存在一定的困难。

方法三：若仿照前面做法应用向量解法可看成夹角为60°的两个模长为 与 的向量a、b的合向量的模在x轴上的射影OH，如图2所示：

图1 图2 图3

当为图3所示情况即达到最大值，且容易求出最大值就是以a、b为邻边平行四边形的对角线的长度 。

同理：a sin（θ+20°）+b sin（θ+80°）的最大值为 。

a·sin（θ+20°）+b·sin（θ+80°）的最小值为 。

a·cos（θ+20°）+b·cos（θ+80°）的最小值为 。

结论：a·sin（θ+α）+b·sin（θ+β）的最大值为：

；

a·sin（θ+α）+b·sin（θ+β）的最小值为：

；

a·cos（θ+α）+b·cos（θ+β）的最大值为：

；

a·cos（θ+α）+b·cos（θ+β）的最小值为：

。

2.不同系数的余名三角函数

同角度，如求a sinθ+b cosθ的最值。

方法一：可按辅助角公式去做；方法二：按三角函数性质把余名化同名，依据上述方法去做。

不同角度，如求a sinθ+b cos 的最值。按三角函数性质把余名化同名，依据上述方法去做。

当然，要让学生能利用一个章节的知识来解决另一章节的有关问题，必须要对整个知识体系掌握得相当熟练，达到融汇贯通的程度，且要有较好的思维能力、创造能力、构造能力，才能借助直观图形解决复杂的计算题，做到以逸代劳。