一道几何题的启示

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数学之美，多不胜举。对于中学数学中，一题之多解，常常令人心潮澎湃，回味无穷；一条辅助线的作出大有四两拨千斤、一石激起千层浪的魅力。在艰辛的努力与激烈的思维碰撞中体会数学之美，是学生学习数学钻研数学的动力，更是我们教师应让学生具有的喜爱数学之源动力。

【题目】如图：在ABC中，D是AC上一点，ADDC=14,连结BD，E为BD的中点，AE交BC于点F.试求BFFC的值。

【探究】此题线条简洁，仅知D点、E点分别是AC、BD的分点，则求BFFC的值。执果：要求BFFC的值，此问是有关线段成比例的问题，必构造平行线，创设基本字型“A”与“X”，索因：题目中包括问题共有三个内分点E、D、F和外分点（线段的端点）A、B、C. 过哪一个点作那一条直线的平行线才能搭建问题与已知的桥梁？

【法一】如图1，作DG∥AF交BC于点G. ADDC=FGGC=14,又 E为BD的中点且DG∥AF， BF=FG， BFFC=15

点评：何谓美丽的彩虹桥？何谓生花之妙笔？此法中辅助线DG是也。DG的出现使已知成为有用之材，同时作为纽带也发挥了中点E的重要作用：中位线。故而问题中的BF现身且可被FG替换。真是一举多的，事半功倍啊！

图1

【法二】除上述方法之外，中点E还有什么用处？中点有声么性质？（分线段成两条相等线段）线段向邓友何用处？（证全等）

如图：作DG∥BC交AF于点G，则可证DGE≌BFE, DG=BF, ADAC=GDFC=BFFC=15

上面两种方法可看作是利用D为线段AC的内分点所作的辅助线。我们又能否从外分点入手呢？

【法三】如图3，过点A作BC的平行线AG交BD的延长线于G点。

则， AGBC=ADDC=GDBD=14， GEBE=32， BFAG=23， BFBC=16 BFFC=15

【法四】如图4，过点C作CG∥AF交BD的延长线于点G,则ADDC=EDDG=14，又 E为BD的中点， BEEG=BFFC=15。

点评：以上四种方法都是针对于已知ADDC=14，而在线段AC的基础上构造的辅助线创设基本字型“A”与“X”。若对于问题BFFC，我们可以如何创设环境呢？

【法五】如图5，过B点作BG∥AC交AF的延长线于点G,则可证AED≌GEB, BG=AD,又 BG∥AC，BFFC=BGAC=ADAC=15。

【法六】过C点作CG∥AB交AF的延长线于点G, BFFC=BECG,又 BE=ED, BFFC=EDCG=ADAC=15.

上面我们是从D点和F点入手作了辅助线，达到解题的目的。而E点也为分点(中点)，那么从E点出发可以解决问题吗？

【法七】直觉上，中点可以使我们联想到什么？（中位线）如何构造？

（作平行线）如图7：过E点作EG∥AC交BC于点G,故EG为BCD的中位线。 EGCD=12，又令EG=x, CD=2x,AD=12x, EGAC=25=FGFC,又令FG=2k, FC=5k,GC=BG=3k BF=k, BFFC=k5k=15

【法八】如图8：过E点作EG∥BC交AC于点G,故EG为AFC的中位线。

EGBC=12①,DGDC=12. 又 ADDC=14， AGAC=EGFC=35② ， ①÷②有FCBC=56： FCBC=56, BFFC=15

【启示】辅助线是几何题解题中沟通未知与已知的桥梁，是几何题的难点所在，也是几何解题成败的关键。妙笔生花就寓意于此。“新课程标准”虽降低了对几何解题中辅助线教学的要求，然而它却更加凸现了以能力立意的数学思想方法。有效地进行利用辅助线一题多解的训练，能大大的提高学生的逻辑思维和直觉思维能力，使学生数学解题水平达到质的飞跃。就好比登山者蓦然回首，发现自己已从山脚攀到了山腰，让人振奋，更让人期待更多的挑战。数学学习过程就是一个登山的过程，通过艰辛的付出与努力，你会发现“这里风景独好”。我想，至此教师的目的就达到了。

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