如何变换数学题的结论

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变换技巧一：在原题条件相同或类似的情况下，对结论或求解的对象进行变换

例1 对实数a和b，定义运算“？塥”：a？塥b=a，a—b≤1，b，a—b>1.设函数 f（x）=（x2—2）？塥（x—x2），x∈R .若函数 y= f（x）—c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是

A.（—∞，—2]∪（—1，■）

B.（—∞，—2]∪（—1，—■）

C.（—1，■）∪（■，+∞）

D.（—1，—■）∪[■，+∞）

难度系数 0.60

解答过程 由题设有f（x）=x2—2，—1≤x≤■，x—x2，x■.

画出已知函数的图像，函数图像的4个端点分别为A（—1，—1），D（■，■），B（—1，—2），C（■，—■），如图1所示.从图1中我们可以看出，当直线y=c穿过点C与点A之间时，直线y=c与图像有且只有两个公共点，同时，当直线y=c穿过点B及其下方时，直线y=c与图像有且只有两个公共点.所以，实数c的取值范围是（—∞，—2]∪（—1，—■）.选B.

小结 本题主要考查函数的图像和性质，考查对新定义的理解和应用能力.解答本题的关键是将方程f（x）—c=0转化为 y= f（x）与 y=c两个函数图像的交点问题，这样既体现函数与方程之间的紧密联系，又凸显函数图像在研究函数问题中的重要性以及含有参数和变量分离的思想.该问题的解答过程分为三步：新定义解读，将原问题转化为分段函数问题；将方程问题转化为函数问题；图像表征问题并解答.解答本题可涉及函数与方程、转化与化归、数形结合等思想方法.

变式1 已知函数f（x）=x2—2，—1≤x≤■，x—x2，x■，若函数y= f（x）—c只有一个零点，则实数c的范围是 .

解 画出函数y= f（x）的图像，如图2所示.由图2可知，函数图像的4个端点分别为A（—1，—1），D（■，■），B（—1，—2），C（■，—■）.从图2中我们可以看出，直线y=c穿过点C（■，—■）到D（■，■）之间的部分，直线y=c与图像有且只有一个公共点，即c∈[—■，■].

变式2 已知函数 f（x）=loga x+x—b（a>0，且a≠1），当2

解 （解法1）如图3所示，在同一坐标系内，作函数y=loga x和y = b—x的图像，观察它们的交点位置.因为21时，y=loga x的图像夹在y=log2 x和y=log3 x的图像之间；因为3

（解法2）由零点存在性定理可知 f（n）0，即loga nb—1—n.由上可知0≤loga n

将n=1，2，3代入上述式子，有：当n=1时，不满足第2个不等式；当n=3时，不满足第1个不等式.故只有n=2成立.故n=2.

变式心得 高考考查函数的零点通常有三种题型，即求零点、求零点的个数、求零点的范围.常见的解法是构造函数，利用数形结合进行求解，这对函数图像变换的要求较高.

变换技巧二：由某一知识点出发，不断进行深化，挖掘出各种可能的变式

例2 设m>1，在约束条件y≥x，y≤mx，x+y≤1下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m 的取值范围是

A.（1，■+1） B.（■+1，+∞）

C.（1，3） D.（3，+∞）

难度系数 0.60

解答过程 （解法1）画出可行域，可知目标函数z=x+my在点（■，■）取得最大值.由■+■1，解得1

（解法2）利用特值排除法解答.令m=2，得z的最大值为■，故排除选项B、D.令m=■+1，得z的最大值为2，故排除选项C.选A.

变式 已知x，y满足y≥x，y≤2x，x+y≤1，则■的最大值为 .

解 由题意可知可行区域为一个三角形区域，三个顶点分别为A（0，0），B（■，■），C（■，■）.由于■=■=1+■，令k=■，其几何含义为过定点（—1，1）的直线经过可行域ABC的斜率，其取值范围是—1=■≤k≤■=—■，所以■=1+■≤1+（—■）=■.故■的最大值为■.

变式心得 就某一知识点，对结论不断地进行深化变式，尽可能地与其他知识点相结合，从而让知识点的掌握一步到位.

刘光明，中学数学高级教师，教学经验丰富，教学成绩显著，辅导学生多次荣获国家级和省级数学竞赛奖。参与、主持了多个省级重点课题并获奖。主编、参编10多本高中数学教学资料，在全国各类报刊上发表教学文章30余篇。

（责任编校？筑周峰）