例谈"割补法"求空间几何体的体积

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【摘要】高中教材所学到的几何体，大多都是比较特殊的几何体，比如棱柱、棱锥等体积的求法，主要利用公式法或等体积换底面积法就可以直接解决，但是在我们在平常做练习或高考当中，又经常遇到一些难于直接计算的或是直接求，但过程非常复杂。如果能利用"割"与"补"的方法来解决，就可以把一些不易直接计算的几何体"分割"成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体，化难为易，化繁为简，使思路清晰简单，这样就可以达到事半功倍的效果。本文就通过具体的实例来谈谈如何利用"割补法"解决此类难题。

【关键词】分割法 等体积变换底面法 补形法

高中教材所学到的几何体，大多都是比较特殊的几何体，比如棱柱、棱锥等体积的求法，主要利用公式法或等体积换底面积法，就可以直接解决，但是在我们在平常做练习或高考当中，又经常遇到一些难于直接计算的或是直接求，但过程非常复杂的几何体。如果能利用"割补法"来解决，把一些不易直接计算的几何体分解成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体，化难为易，使复杂多变的问题变得思路清晰简单，这样就可以达到事半功倍的效果。下面就谈谈"割补法"解决难题具体做法。

一、分割法：就是将一个难于直接计算的几何体分割成几个易于计算的几何体，分别求出它们的体积，再将加，便得所求几何体的体积。

例1 如图，在三棱锥A-BCD中，若相对棱ABCD，且AB=4，CD=3，EF是这两条异面直线AB、CD的公垂线，且EF=6，求该三棱锥A-BCD的体积.

分析：本题所给的条件，如果直接从正面利用公式直接去求是没有办法的，但是从EF是这两条异面直线AB、CD的公垂线出发，易知ABEF，ABCD，EF∩CD=F，所以知道AB面ECD，这样我们就以DCE为底面，高分别是AE、BE的两个小的三棱锥A-DCE和三棱锥B-DCE来计算就行，于是得下面的解答。

解：连结CE、DE

EF为异面直线AB和CD的公垂线

EFAB ABCD AB面ECD

在DCE中，EFCD

【方法提炼】本题利用"割"的思想将此三棱锥的体积转化为两个同底的棱锥的体积之和，进而使本题简捷、巧妙获解。

例2如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为CC1、AA1的中点，求四棱锥A-MB1ND的体积.

分析：由题目所给的条件，易知四边形MB1ND是菱形，但是点A到面MB1ND的距离难求，如果我们把该棱锥分解成以AMN为底面，D、B1作为顶点的三棱锥，那么这些顶点到平面AMN的距离为面的对角线BD的一半，

解：连结MN，A1B1=B1M=MD=DA1=，B1M//A1D 四边形A1B1MD是菱形，AC=MN=BD=

又三棱锥D-AMN与三棱锥B1-AMN的高相等，且

【方法提炼】本题体现的数学思想方法：①分割法：将此四棱锥的体积转化为两个全等的三棱锥的体积之和；②等体积变换底面法：分割后的三棱锥通过换底来求其体积。分割法是一种将复杂的几何体分解成几个简单的几何体的方法，在应用时，要注意改变对几何体的观察角度，寻找最佳的分割方法.

二、补形法：就是将一个难于直接计算的几何体补成一个易于计算的几何体，求出这个几何体的体积后，再减去补上的部分的体积，便得到所求几何体的体积.

例3 如图，斜三棱柱的一个侧面ABB1A1的面积为S，侧棱CC1支这个侧面的距离为h，求斜三棱柱的体积.

分析：由于我们求棱柱的体积公式，只有底面乘高，根据该项题所给的条件是无法直接求解，但是我们容易想到，如果是一个四棱柱，按对角面切开就变成了两个三棱柱，于是我们把这个三棱柱补成四棱柱，问题就可得到解决。这样得到下面的简解。

解：如上图所示，将左图补成一个斜四棱柱(平行六面体)，则

例4 如图，ABCD为边长为3的正方形，EF到面ABCD的距离为h=2，面ADE面ABCD，且EF//AB，EF=，求此多面体的体积.

分析：该几何也是几何特征不是很明显的几何体，但是已知条件知四边形ABCD是正方形，且面ADE面ABCD，且EF//AB，于是我们可以把EF延长到G使得EG=AB，这样我们就可以得到直三棱柱，再减去三棱锥F-BCG的体积即可.

解：ABCD是正方形，ABAD 面ADE面ABCD，面ADE∩面ABCD=AD AB面ADE EF//CD，CD//AB EF//CD，EF面ADE，CD面ADE

延长EF到G，使得EG=AB，并连结GB、GC，则几何体ADE-BCG是直三棱柱.

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【方法提炼】在求体积时，我们常常把不熟悉或不够直观的几何体通过补形法，转化为熟悉的、直观性更好的几何体来求解。以下是常见的补形变换：

①斜棱柱直棱柱；②三棱柱平行六面体；③三棱锥三棱柱或平行六面体；④把不规则的几何体规则的几何体

以上的几个例题讲讲何利用"割"与"补"的方法，破解空间几何中难于直接计算的几何体的体积的应用。从此可以看出割补法是的重要数学方法之一，我们在平常的在实际应用时，一定要抓住几何体自身特点，做到合理割补，也就是要做到能"割"善"补"。

参考文献

[1]割补法解题技巧，李晓芹《数学通讯》

[2]割补法及其应用，王建忠《中学物理》