解直角三角形的应用

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解直角三角形已成为中考命题的热点之一.它应用于测量、航海及工程技术等方面，计算距离、高度和角度等.对此类实际问题的考查，有助于形成建模思想，从而进一步培养我们的抽象思维能力.

一、求建筑物的宽度或高度

例1　（2012年兰州卷）在修建楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度．如图1　，虚线与地面的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高.如图2，设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1=4米，θ1=40°，θ2=36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少米？

（计算结果精确到0.01米．参考数据：tan40°=0.839，tan36°=0.727）

解：由题意可得，∠ACB=θ1，∠ADB=θ2.

在RtACB中，AB＝d1tanθ1=4tan40°，

在RtADB中，AB＝d2tanθ2=d2tan36°，

4tan40°=d2tan36°.

d2=≈4.616，d2-d1=4.616-4=0.616≈0.62.

答：楼梯占用地板的长度增加0.62米.

温馨小提示：当给出一些角的三角函数值，这就提示我们根据角所在的位置构造出直角三角形来解决问题.

二、解航行问题

例2　（2012年连云港卷）如图3，已知B港口位于A观测点北偏东53.2°，且到A观测点正北方向的距离BD的长为16km.一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿BC方向航行，15min后到达C处，现测得C处位于Ａ观测点北偏东79.8°.求此时货轮与A观测点之间的距离AC（精确到0.1km）.

（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24）

解：依题意得BC=40×=10.

在RtADB中，sin∠DAB==sin53.2°≈0.8，

AB≈16÷0.8=20.

如图4，过点B作BHAC，交AC的延长线于H.

在RtABH中，

∠BAH=∠DAC－∠DAB=79.8°－53.2°=26.6°，

tan∠BAH==0.5，

AH=2BH.

又BH2+AH2=AB2，即BH2+（2BH）2=202，

BH=4，

AH=8.

在RtBCH中，BH2+CH2=BC2，　CH=2.

AC=AH－CH=8－2=6≈13.4.

故此时货轮与A观察点之间的距离约为13.4km.

温馨小提示：利用方向角构造直角三角形是解题的关键.

三、水坝、路基问题

例3　（2012年包头卷）如图5，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽AD=5米，斜坡AB的坡度i=1∶3（垂直高度AE与水平宽度BE的比），斜坡DC的坡度i=1∶1.5，已知该拦水坝的高为6米．

（1）求斜坡AB的长；

（2）求拦水坝的横断面梯形ABCD的周长．（计算过程和结果均保留根号）

解：（1）斜坡AB的坡度i=1∶3，AE=6，BE=18.

AB===6（米）.

（2）过D作DFBC，垂足为F.

AD∥BC，DF=AE=6，EF=AD=5.

斜坡DC的坡度i=1∶1.5，CF=1.5DF=9.

CD===3（米）.

梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=AB+BE+EF+FC+CD+AD

=6+18+5+9+3+5=37+6+3（米）．

温馨小提示：求斜坡CD的长时，要注意平行线之间的距离相等．

四、生活工具测量问题

例4　（2012年黄石卷）如图6、图7所示（图6为实景侧面图，图7为安装示意图），在屋顶的坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.　AD与水平线夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，tanθ1＝1.082，tanθ2＝0.412.如果支架AB的高为25cm，求支架CD的高（结果精确到1cm）.

解：如图7，过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，且EC=AB=25cm．

在RtDAF中，∠DAF=θ1，DF=AF·tanθ1，

在RtEAF中，∠EAF=θ2，EF=AF·tanθ2，

DE=DF－EF=AF（tanθ1－tanθ2）

=140（1.082－0.412）=93.8.

DC=DE+EC=93.8+25=118.8≈119（cm）．

答：支架DC的高为119cm.

温馨小提示：求线段的长的基本方法是将其置于三角形中，利用三角形的相关知识解答.