弹性抗滑桩内力计算的有限差分法

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收稿日期：2006－11－16

作者简介：刘可定(1973－)，女(汉族)，湖南湘潭人，硕士研究生，工程师。

摘要：在传统抗滑桩内力计算的悬臂桩法的基础上，将滑动面以上的部分视为定向铰支的悬臂梁，以使滑动面上下位移符合连续性条件，滑动面以下采用地基系数“m”法计算桩身内力，并在此基础上推导了有限差分计算公式。用MATLAB编制了弹性桩全桩的内力计算程序，可用于滑坡推力和桩前剩余抗滑力为梯形、三角形和矩形的情况。同时可得到较好的可视化计算结果。计算结果与工程实际监测值相比，说明了程序有较好地精度与效率。

关键词：抗滑桩；有限差分法，MATLAB

中图分类号：TU311．4

文献标识码：B

文章编号：1008－0422(2007)02－0073－04

1　前言

抗滑桩作为一种横向受荷桩，承受的主动外力为水平向滑坡推力，由于滑动面的存在和滑动面上、下岩土体抗力的作用，使之成为一种超静定结构，其内力计算远较一般承压桩复杂。60年代以来，关于横向受荷桩的内力计算，各国学者已提出了不少方法，概括起来可分为线弹性地基反力法和非线性地基反力法两大类…。但国外的研究主要侧重于桥梁桩基、海洋船埠码头和海底石油钻井平台桩基的内力计算。对治理滑坡的抗滑桩内力计算研究不多。国内关于抗滑桩内力计算研究成果集中体现在文献中，已有的计算方法如悬臂桩法、地基系数法、矩阵分析法、有限元法等均只考虑桩周土线弹性阶段。P－y曲线法是当今国际上流行的非线性弹塑性地基反力法，我国学者吴恒立提出的计算推力桩的综合刚度原理和双参数法…，可考虑桩周土处于线弹性或非线弹性阶段。然而这两者均主要适用于桩顶作用有横向荷载或桩的外露部分作用有分布荷载，如某些桥梁桩基、海洋平台桩基的内力计算。而抗滑桩作用的主动外力一滑坡推力一般为滑动面以上的分布荷载，是有别于上述桩的。因此，目前我国仍主要采用前述各种线弹性地基反力法来分析抗滑桩的内力，然而，究竟哪种方法最符合抗滑桩的实际受力和变形情况，尚未定论。

悬臂桩法是最早提出的一种方法，具有简单实用的优点，因而至今仍被许多现场工程师和一些专业设计部门所采用，该方法因将滑动面以上桩段(悬臂段)视为悬臂梁，滑动面以下(锚固段)视为Winkler弹性地基梁而得名，根据对地基系数的假定不同，又可分为“K”法、“m”法和“c”法。本文以在工程中应用最为普遍的“m”法进行讨论。

人们在采用悬臂桩法进行抗滑桩内力计算时，仍习惯将抗滑桩以滑动面为界，分上、下两段独立考虑，建立各自的坐标系，以进行受力和变形分析，将上段视为锚固在滑床中的简单的(固定支座)悬臂梁，得到结果是桩顶处桩身位移最大，滑动面处桩身位移为零；而下段计算结果，往往滑动面处位移最大。这样导致桩身位移在滑动面处不连续，与实际不符。有鉴如此，将受荷段视为固定支座的悬臂梁，是不合理的。

由于滑坡推力作用，桩身变位使桩前土体受压，产生弹性压缩变形，同时在受荷段桩前土体产生抗力，抵制变形。因此，应将受荷段视为弹性定向铰支的悬臂梁，滑动面处桩身可产生位移，以保证桩身位移在滑动面处的连续性，这样，在内力分析时，可建立统一的坐标系，计算滑面以上内力时，采用材料力学的方法，计算滑面以下内力时，采用有限差分法。

2　整体坐标系的建立

滑动面处桩身的位移大小由锚固段计算结果决定，滑动面以上桩身位移由悬臂梁法计算结果与按锚固段计算的滑面处转角计算的位移二者叠加。可建立如图1所示的统一坐标系，坐标系的原点取在地面处。设桩的总埋深为H，滑动面以上悬臂段桩长为h1；滑动面以下锚固段桩长为h2，为便于分析，设滑坡推力Et和桩前滑体剩余抗滑力Er均为梯形分布(三角形和矩形分布都可以通过改变梯形参数得到)，二者在滑动面和坡顶处的荷载分布集度分别为qA，qB和pA，pB。

3　悬臂段内力计算

桩体在未发生形变时，悬臂段(z≤h1)剪力可以表示为：

积分一次且由边界条件(z=0时m=0)得到弯矩：

根据位移转角与弯矩的微分关系有：

再由桩端约束条件：z=h1时，θ(h1)=0,y(h1)=0,可以得到：

桩侧土抗力：根据位移叠加原理，悬臂段桩身的总位移为：

式中yA为滑动面处桩身位移，θ为滑动面处桩身转角。

4　锚固段位移和内力计算

由于抗滑桩有刚性桩和弹性桩之分，二者受力和变形特点不同，计算方法也不一样。按“m”法计算时，桩的变形系数为　。

式中m为地基系数随深度而变化的比例系数(kN／m4)；EI为桩身抗弯刚度(KN／m4)，变形系数a的单位为m-1，bo为桩截面的计算宽度。

当ah2≤2．5为刚性桩；当ah2>2．5为弹性桩;h2为锚固段桩身长度。

对于弹性抗滑桩，锚固段在滑面处受水平荷载，桩身发生弹性挠曲变形，即锚固段可以视为桩顶受水平荷载的侧荷桩，其挠曲微分方程为采用“m”法时上式化为：

上式为一个四阶常微分方程的边值问题，考虑采用差分方程求解，用差分法求解常微分方程边值问题的步骤可表示为：

a)将区间离散。

b)在节点上将导数差商化，从而将微分方程化为差分方程。

c)代入边界条件。

d)求解差分方程――实际上就是求解线形方程组。

从桩底由下至上采用等量分段，见图2，步长为血，总共分为H／h段，则任意节点n处的控制差分方程可以写为：进一步得到：

由边界条件桩底剪力和弯矩均为0得：弯矩为0：　，进一步得到：　(11)剪力为0：　，进一步得到：　(12)在(10)式中令n=0得到：将(11)和(12)式代入上式得到：令　，则：　(14)同理可以得到递推公式：将(16)和(17)式代入(10)式得到：得到an,bn,cn的递推公式：初始条件为：c-1=1,a-1=-2,b-1=1

在滑动面上桩的内力是连续的，所以锚固段计算得到的弯矩，剪力应和悬臂段计算得到的弯矩，剪力相同：

将n=A代入(15)－(17)式并消去yA-2，yA-1，yA+2,整理可得：

解由式(23)和(24)组成的方程组，可得滑动面处的位移yA，yA+1，将yA＇，yA+1回代到式(15)可得锚固段各个节点处的位移，进而由公式(25)和(26)求得各节点处的弯矩和剪力

将yA和　代入(6)式可以得到悬臂段的位移。

5　算例

在以上推导的基础上，作者采用MAT－LAB编制了弹性桩全桩内力计算和图形处理程序。并在作者参加的长江三峡库区重庆丰都县倒流子滑坡设计中成功地进行了内力计算，下面选其中一根桩扼要概述。

设计桩身总长H=18．700m，其中滑动面以上，即悬臂段桩长11．200m，锚固段桩长7．500m；桩身截面尺寸b×a=1．5m×2．5m，桩的计算宽度取为b0=2．5m，桩间距(中心至中心)L=5．000m。桩身混凝土为C30，混凝土弹107KNgn2。

滑坡推力En为695kN／m；因桩前滑体有滑动趋势，此处不考虑桩前土抗力，即桩前剩余抗滑力ER=0。滑动面处的地基系数A=22000KNgm2，m=79．2MN／m4。

经计算ah2=0．347×7．5=2．603＞2．5，故设计抗滑桩为弹性桩，桩底边界条件按照自由端考虑，每根桩承受的滑坡推力ET=EnL=3475KN，忽略桩、土问的摩擦力及滑带土的粘聚力。

滑坡推力为矩形分布，即可得qA=qH=310．26KN／m，pA=pB=0,滑动面以下取桩身等量分段长度h=0．1m，

计算结果如表1、图3－图6所示：

6　结论

5．1实例计算表明。基于文中所推导的公式编制的计算程序，提高了悬臂桩法计算抗滑桩内力的计算效率，桩身最大位移7．4cm和竣工后监测值6．9cm相比，两者比较接近。

5．2影响本文程序计算结果的最主要参数是地基土的比例系数m，由于实例计算时是采用规范推荐的经验值，随意性较大，影响了最终计算结果。如果采用直接利用静力触探数据给出比例系数m值，程序结果将更加准确。

5．3通过改变桩身划分长度h能得到满意的工程精度，本文中如果划分长度取h=0．05m，最后计算得到的桩身最大位移为7．0cm，但计算量增加了一倍。所以计算中取h=0．1m是合适。

5．4程序的编制避免了传统手工查表时计算过程繁琐且受到表中各个系数截断误差影响的缺点。计算结果的图形自动处理，能够直观准确的显示计算结果，避免了传统手工绘图的繁琐和误差，对于优化钢筋笼的配筋是有益的，计算结果和竣工时监测数据相比较表明了本程序的正确性。

(本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。)