一箭何止双雕
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【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）07-0131-02
在我们高中数学中常常遇到函数图象有交点，方程有根，函数有零点进而求参数取值范围或者探讨根（零点）的个数的问题。其实方程f(x)=0有实根?圳函数f(x)的图象与x轴有交点?圳函数f(x)有零点，即同一问题的三种不同的表达方式。解决该问题的方法就是画相应函数的图象。画函数图象的方法可谓一箭三雕。基本函数的图象我们可以一下就画出，但有些复杂函数的图象就要借助导数来研究。
在高中文科数学中主要有以下两种题型：
题型一：画基本函数的图象
例1：判断方程3sin■x-log■x=0 的根的个数。
解析：分别画出函数y=3sin■x和y=log■x的函数图象（x＞0）（如右图）
方法总结：转化成两个基本函数，两个函数图象的交点
触类旁通：
1.已知函数f(x)=2x+m2+m在(-∞, 1] 上有零点，求m的取值范围。
2.已知方程2｝x-1｝+m=0有根，求m的取值范围。
题型二：利用导数画函数的草图
例2：若函数f(x)=ln(x+1)-x2-x, g(x)=-■x+b在[0, 2]上恰有2个不同的交点，求b的取值范围。
变式1：把条件“在[0, 2]上恰有2个不同的交点”变成“在[0, 2]上恰有1个不同的交点”，结论如何？
变式2：把条件“[0, 2]”去掉，结果如何？
解：由于函数f(x)=ln(x+1)-x2-x, g(x)=-■x+b在[0, 2]上恰有2个不同的交点，即f(x)=g(x)在[0, 2]上恰有2个不同的实根。
直接构造函数h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x2+■x-b，
即h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x2+■x-b在[0, 2]上与ｘ轴有２个交点
则h′(x)=■-2x+■=■=■
x∈[0, 2] 4x+5＞0, 2(x+1)＞0
令h′(x)＞0则0＜x＜1，令h′(x)＜0则1＜x＜2
故h极大值=hmax(x)=h(1)=ln2+■-b而h(0)=-b, h(2)=ln3-1-b＞h(0)=-b
因此，hmax(x)=ln2+■-b，hmix(x)=-b。其函数h(x)=ln(x+1)-x2+■x-b草图为:
故要使函数f(x)=ln(x+1)-x2-x,g(x)=-■x+b在[0, 2]上恰有2个不同的交点
需满足h(1)＞0且h(2)＜0即ln2+■-b＞0ln3-1-b＜0
所以b的取值范围为ln3-1≤b＜■+ln2
变式1：需满足h(1)=0或h(0)＜0h(2)＞0
变式2：只需满足h(1)＞0
例3：已知函数f(x)=ax3+bx2-(3a+2b)x+3
（1）若函数f(x)在x=2处的切线方程为3x+y-11=0，求函数f(x)的解析式;
（2）在（2）的条件下，是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=■f ′(x)+5x+m的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。
变式１：把条件“有且只有三个不同的交点”变成“有且只有一个不同的交点”结果如何？
变式２：把条件“有且只有三个不同的交点”变成“有且只有两个不同的交点”结果如何？
解：（２）解析略 f(x)=x3-6x2+9x+3
（３）f ′(x)=3x2-12x+9由已知可转化为x3-6x2+9x+3=(x2-4x+3)+5x+m有三个不等实根，即g(x)=x3-7x2+8x-m与ｘ轴有三个交点g′(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4)
由上表值g极大值（x）=g(■)=■-m, g极小值（x）=g(4)=-16-m,其草图为:
要使g(x)=x3-7x2+8x-m与ｘ轴有三个交点，只需 g极小值(x)=-16-m＜0g极大值(x)=■-m＞0
所以ｍ的取值范围为-16＜m＜■
变式１： g极大值(x)=■-m＜0或g极小值(x)=-16-m＞0
变式２：g极大值(x)=■-m=0或g极小值(x)=-16-m=0
方法总结：求较为复杂函数图象交点问题的步骤：
第一步：构造新函数H(x)=f(x)-g(x)
第二步：函数H(x)=f(x)-g(x)求导，研究其单调性，极值，最值和端点值。
注意：若H(x)的定义域为Ｒ，仅仅研究其单调性，极值；
若H(x)的定义域为某区间，研究其单调性，极值，最值和端点值。
第三步：由第二步画函数图象的草图。
第四步：根据题意列不等式组。
触类旁通：
1.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3，
（1）求f(x)的解析式
（2）若过点A(2, m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。
2.已知函数f(x)=ax3+bx3+cx的极小值为-8，其导函数的图象开口向下且经过点(-2, 0), ■, 0，
（1）求f(x)的解析式；
（2）方程f(x)+p=0有唯一实数解，求p的取值范围；
（3）若对x∈[-3, 3]，函数y=f(x)与函数y=2m的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。