电势高低的比较与电势差的计算

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在电磁学理论中，电势高低的比较是定性分析的基础，而电势与电势差的计算则对于电场及电路问题的求解所起的作用至关重要。

1 电场电路中电势高低比较的实例分析。

1.1 地磁场中电势高低的比较。

例1 判断飞机在地面上方水平飞行时，机翼两端电势的高低。

分析 飞机水平飞行时机翼两端产生电势差的原因是由机飞行中切割了地磁场的磁感线。由于在北半球地磁场磁感应强度的竖直分量向下，根据右手定则可以判断，无论飞机向着什么方向水平飞行，都是机翼左端的电势高；而在南半球由于地磁场磁感应强度的竖直分量向上，因此飞机水平飞行时一定是机翼右端的电势高。

1.2 自感现象中电势高低的比较。

例2 在图1所示的电路中，线圈L的直流电阻忽略不计，开始时电键S闭合，现突然断开电键，则在断开电键的瞬间，比较C、D两点间电势的高低，结果是ΦCΦD。

分析 断开电键S后，线圈L中要产生自感电动势阻碍电流的减小，根据楞次定律可知，这一自感电动势的方向与原电动势的方向相同，由于此时L在这里充当着电源，而在电源内部电动势的方向从负极指向正极，因此C端电势高于D端电势。

1.3 电磁振荡中电势高低的比较。

例3 在图2所示的LC振荡电路中，从开关S拨到2开始计时，在t=0时刻，电容器下极板带正电，在34T~T时间内，比较电路中A、B两点电势的高低。

分析 由于t=0时刻电容器下极板带正电，而当电容器电荷量随时间变化的q-t图线按余弦规律变化时，在34T~T时间内，电容器极板电性与t=0时相同，因此在这一时段内，必定是与电容器带正电下极板相连的B点电势高。

2 根据叠加原理计算电势。

例4 如图3所示，真空中有三个电荷皆为q的均匀带电薄球壳，其半径分别为R、R2、R4，三球壳彼此内切于P点（在P点各球壳彼此绝缘），球心分别为O1、O2、O3，求O3与O1两点之间的电势差。

分析 依据点电荷的电势公式Φ=KqR计算电势时，要特别注意内外有别：由于每一球壳都是等势体，因此该导体球壳内部任意一点的电势都与导体表面的电势相等；而在计算导体球壳外部某点的电势时，则可以把球壳看成电荷量集中于球心的点电荷。点O3位于这三个带电球壳的内部，所以点O3的电势Φ3=K（qR+qR/2+qR/4）=7KqR；而点O1位于半径为R的薄球壳内，位于半径为R2的薄球壳上，位于半径为R4的薄球壳外，因此点O1的电势Φ1=K（qR+qR/2+qR/2+R/4）=13Kq3R，点O3与O1之间的电势差Φ3-Φ1=8Kq3R。

3 根据补偿原理计算电势。

例5 电荷量q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD通过半球顶点C与球心O的轴线，P、Q为CD轴线上位于O点两侧距O点等距离的两点（图4），已知P点的电势为ΦP，求Q点的电势ΦQ。

分析 设想半球ACB为完整球面的一部分,则整个球面均匀带有电荷量2q,根据均匀带电球壳内部任意一点处电势与球壳表面电势相等的条件可知Φ=K2qR。由于此电势是ACB半球和另一半球在P点电势叠加的结果，设另一半球在P点的电势为Φ′P，则ΦP+Φ′P=K2qR，Φ′P=K2qR-ΦP，又依据均匀带电球壳所具有的对称性可知，所求Q点的电势即相当于假设的另一半球在P点的电势ΦQ=Φ′P=K2qR-ΦP。

4 根据导体的静电平衡计算电势。

例6 有两个相距很远的铜球，A球半径为6cm，电势为300V；B球半径为4cm,电势为150V，如果用一根铜线将它们连接起来，求连接后两球的电势为多少？

分析 以无穷远为电势零点，根据点电荷的电势公式可知ΦA=KqAr1,ΦB=KqBr2。当用铜线将二者连接后，由于连接前ΦA>ΦB，因此连接过程中尽管有自由电子从B球转移到A球，但两球总电荷量仍然守恒，并且A球电势降低、B球电势升高的最终结果，必定会使A、B两球成为电势相等的等势体。

针对上述连接过程列出方程组

q′A+q′B=qA+qB=ΦAr1K+ΦBr2K

Φ=Kq′Ar1=Kq′Br2后可以解得

q′A=ΦAr1+ΦBr2K（r1+r2）r1，

q′B=ΦAr1+ΦBr2K（r1+r2）r2；

Φ=ΦAr1+ΦBr2r1+r2=240V。

5 根据电势能的变化计算电势。

例7 在图5中，将正点电荷Q1和Q2分别置于A、B两点，其间距离为L，现以L为直径作半圆，试求：

①在此半圆上电势最低点P的位置；

②该点电势的最小值Φmin。

分析 直接借助点电荷的电势公式求KQ1Lcosθ+KQ2Lsinθ(自变量θ为PA与AB间夹角)数学极值的方法不宜采用，我们可借助沿半圆弧移动电荷时电场力做功使电荷电势能发生变化的角度求解：将点电荷+q置于半圆弧上的P点，它所受Q1、Q2的库仑斥力F1、F2分别沿AP及BP的延长线方向，如果这两个相互垂直的力的合力其方向恰好沿半径OP的延长线方向，此时P点即为所求。这是由于圆弧上P点左侧各点（例如P1）所受库仑斥力的合力方向偏离该点半径延长线方向向右，P点右侧各点（例如P2）所受库仑斥力的合力方向偏离该点半径延长线方向向左，因此沿圆弧从P1到P2移动+q时，电场力必定先做正功后做负功，可见P点就是圆弧上+q电势能最小的位置，即电势最低的位置。此时F1F2=KQ1qr21/KQ2qr22=Q1Q2(r2r1)2,再根据F2=F1tanθ及r1=Lcosθ,r2=Lsinθ立即可得P点位置满足的条件tan3θ=Q2Q1,P点电势ΦP=KQ1Lcosθ+KQ2Lsinθ=KQ1L1cos3θ=KQ1L(1cos2θ)3/2=KQ1L(1+tan2θ)3/2=KL(Q12/3+Q12/3tan2θ)3/2=KL(Q12/3+Q12/3)3/2。

6 电磁感应中电势差的计算。

例8 如图6-甲所示，将单位长度电阻为ρ的同种规格的金属丝做成边长分别为a和b的长方形线框，在垂直线框的平面上加一磁感应强度按ΔBΔt(ΔBΔt>0)的规律均匀变化的磁场，求接在M、N两点间理想电压表的示数。

分析 由于垂直纸面向里的磁场为增强型，根据楞次定律可知，在金属线框中将产生逆时针方向的感应电流，这是变化的磁场产生的电场，其作用效果相当于无数多个小电源沿同一方向串联，因此，该电路可等效为图6-乙所示的形式。

由于ε1=（b-c）aΔBΔt,ε2=caΔBΔt；r1=ρ（a+2b+c）,r2=ρ(a+2c);

而I总=abρ(2a+2b)ΔBΔt，因此UMN=ε2-I总r2=I总r1-ε1=a2(2c-b)2(a+b)ΔBΔt就是接在M、N两点之间理想电压表的示数。

7 霍尔效应中电势差的计算。

例9 将横截面积为a×d的长方体金属块置于匀强磁场中，磁感应强度B的方向垂直于金属块侧面，当金属块中通以自左向右方向的电流（图7）时，比较金属块上下表面M、N两点间电势的高低，并具体说明霍尔电场的电场强度与哪些因素有关。

分析 当金属块中通以自左向右方向的电流时，在它的上下两面（M、N两点）之间就会产生一定的电势差，这种在垂直于电流及磁场的方向上导体或半导体两侧面之间产生横向电场的现象被称为霍尔效应，是1879年由美国物理学家霍尔在进行铜箔试验时首先发现的。

现设截流子的电荷量为q，单位体积内的个数为n，根据电流微观实质的含义可以写出公式I=nqsv(式中s=a×d为金属块的横截面积，v为载流子定向移动的速率)。此时如果形成电流的载流子是正电荷，则根据右手定则+q将向上极板方向偏转，使ΦM>ΦN，这将在上下两面之间形成自上而下的附加电场，由于稳定情况下附加电场对载流子向下的电场力qE=qUd与向上的洛伦兹力qvB相平衡，因此UMN=1nqIBa，式中的K=1nq就是所谓的“霍尔系数”。

而如果形成电流的载流子是负电荷，则向左运动的负电荷将向上极板方向偏转，结果造成ΦM>ΦN，但由于此时q为负值，因此公式UMN=1nqIBa仍然成立，这表明霍尔电场的电场强度E与电流I及磁感应强度B的乘积成正比、与载流子浓度成反比的关系具有普遍性（E=UMNd=IBnqs），只是相同的电流方向对于电性不同的载流子来说将会产生不同的宏观效果。

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