利用几何画板释疑滚圆问题

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初四(鲁教版)下册41页的试一试里有两枚硬币滚动的一个问题. 从2000年开始,中考试题中陆续出现了滚圆问题,因此引起了许多数学教师的关注. 对于这一问题,许多教师,包括我们都采用标记法和学生一起进行实验,实验的结果是一周,而没有象理论当中出现两周的现象. 问题出在哪儿?

后来看到《中学数学杂志》一篇文章――《揭开滚圆之谜》,作者解释了滚动和转动的区别,主要意思是圆在滚动的过程中,必须要转一个角度. 这时候我联想到硬币滚正方形时,当它要转一个直角时,本身并没有在距离上做出位移,但是自身滚动了270°.

可是这个理论对学生解释起来仍旧无法做到通俗易懂. 用什么办法学生解释圆的滚动问题呢,经过思索后,想到几何画板这个工具. 运用几何画板发现直线滚圆的标记线会与地面出现两次平行,而此时圆恰好滚动两周,那么在圆上滚圆会不会也会这样呢?

首先是通过圆在直线上的滚动,来解释这一平行理论. 图1是我在几何画板上作出的动态直线滚圆.

这是圆处于滚动的初始状态.

在这里我过动点P(与B重合)做了一个与OP垂直的直线. 如图1所示这条直线在初始状态与地面是平行的. 图中的

A与C在圆没发生位移时是重合的. 图中的AB是用来定位动圆的半径的.

图2是圆滚动了半周,出现了一次平行. (标记直线与地面平行)

可以看到在上图的基础上,在动圆的标记点上作了一条与地面平行的直线. 当这条线与地面出现一次平行时,此时圆滚动了半周. 那条模糊的线,是我们作的追踪点留下的轨迹.

图3可以看出标记直线与地面重合,也就是说出现二次平行. 同时,发现标记点也再次成为圆与地面的切点. 此时圆准确的滚动了一周. 应当注意的是,此时标记直线出现了两次平行.

通过圆在直线上的滚动,由此理论可以来解析圆在曲线上的滚动,也就是圆在圆上的滚动.

图4是圆滚动的初始状态,中间公切线是标记直线和参照直线重合的现象.

从图5上可以看到此时标记线和参照线即将重合. 如果重合的图,大家看不出来,所以发了一个即将重

合的图. 这样大家容易看清这是第一次平行. 按照平行理论,此时外面的圆滚动了半周.

图6大家可以看出是第二次平行. 也就是说此时外面的圆滚动了一周.

图7第三次平行. 此时外面的圆滚动了一周半.

第四次平行(重合)如图8所示,此时外面的圆滚动了两周.

以上是我通过几何画板作出动态滚圆以及对《中学数学杂志》上专家的理论的理解和通俗解析. 由直线圆的滚动看出圆滚动的两次平行是一周的特点,来推导的曲线滚圆的平行观. 希望大家指正.

参考文献

[1] 查志刚.揭开滚圆之谜[J].中学数学杂志,2001,(5).

作者简介:刘圆圆,女,山东乳山人,1980年出生,中学二级教师,主要研究教学方法及解题方法,曾在县市级论文比赛中多次获奖. 张永胜,男,山东乳山人,1975年出生,中学一级教师,擅长FLASH课件制作,曾多次在县市级中获奖.