综述广义幂指函数和复立体

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇综述广义幂指函数和复立体范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘要：在研究y=x^x、y=x^(x^x)等二阶以上广义幂指函数的基础上，给出了复立体的定义，以解释代数基本定理在高阶广义幂值函数下需要推广。

关键词：广义幂指函数复立体代数基本定理

中图分类号：0174

文献标识码：A

文章编号：1007-3973(2011)010-089-02

1、引言

本文先引述广义幂指函数的定义及猜想，然后给出了复立体的定义，研究了崔雷在《幂指函数的推广和其猜想》中关于代数基本定理需要推广的猜想的可能性。文章通过从二维复平面到三维复立体的推广，从几何上指出了．1存在多个二次方根，进而指出代数基本定理只在二阶以下广义幂指函数成立。

2、广义幂值函数的定义

连续相同加数的加法简写成乘法，比如5+5+5=5x3：6+6+6+6+6=6x5，8+8+8+8=8x4。

连续相同乘数的乘法简写成幂函数，比如5x5x5=5^3；6x6x6x6x6=6^5，8×8×8×8=8^4。

那么，连续相同幂值函数的简写呢?比如5^(5^5)?比如6^(6^(6^(6^6)))?比如8^(8^(8^8)))?能不能继续推广?

可以继续推广，且相同的底数和指数的幂指函数可以简写为新的函数：

x^x--x^^2，这里的“2”指的是有两个x进行“”运算。依次类推，x^(x^x)＝X^^A3，x^(x^(x^x))＝x^^4……那么，上述的5(5^5)=5^^3 6^(6^(6^(6^6)))6^^5，8^(8^(8^^8)))=8^^4。

那么，能不能继续推广?

继续形式上推广，即可得：

X^^=X^^2，x^^(x^^x)=x^^3，x^^(xx^^(x^^x))=x^^^4……

x^^^x=x^^^^2，x^^^(x^^^x)=x^^^^3，x^^^(x^^^(x^^^x))=x^^^^4……

这里用“^”个数的不同，来区别简写的层次，“^”的个数称为“阶数”，后面的数字是次数。比如，y=f(x)“^g(x)就是二阶，y=f(x)^^^^g(x)是四阶；y=f(x)^^^2是二次函数。

举例：3^^2是2阶2次函数，值等于27而不是9，因为3^^^2=3^3=27。值得注意的是，这种函数在底数比较大的情况下上升的比较快。

为了降低高阶高次书写的繁琐，用CuiMaP(bx，ix,cx，px)表示上述运算，其中bx是重复的底数(代码b，上文中的x)，-ix是重复的次数称指数(代码i，上文中的N)，cx是“^”的个数称阶数(代码c)，运算的值px称为幂数(代码p)，函数的名称是广义幂函数。另一个建议的写法是底数写在左边，指数写在右上角，阶数写在右下角。

但是，这种定性的描述的缺点是：指数、底数、阶数是正自然数的时候是便于理解的，至于当有的数不是正自然数的时候，就不那么显然甚至是无定义的了。

满足以下条件的函数CuiMaP(bx，ix，cx，py)为广义幂函数：

(1)CuiMaP(bx，ix，cx=I，py)=bx^ix~

(2)CuiMaP(bx，ix，cX，py2)=CuiMaP(bx，CuiMaP(bx，ix．1，cx，pyl)，cX，py2)；

(3)CuiMaP(bx，2，cx，py)=CuiMaP(bx，bx，ex-I，py)；

其中，(1)给出了CuiMaP函数和幂指函数的关系，(2)和(3)是递推公式：(2)给出了同阶高次到低次的转化公式，(3)给出了高阶到低阶的转化公式。

这里举1个例子：

3^^2可以表示成CuiMaP(3,2,2,27)。

这种使用CuiMaP表示，除了降低书写难度之外，还有一个好处：对于4个变量，可以任意3个已知而求得第4个，这时候使用CuiMa表示，此时P变换为以下形式：

在函数CuiMa(bx，X，cx，px)中，以任意两个为常数、一个A为自变量、另一个B为因变量的函数，称为CuiMaBA函数。比如，以底数、指数为常数，以幂值为自变量、阶数为因变量的函数称为CuiMaCP函数。其中，以幂值为因变量的CuiMa函数就是上述的CuiMaP幂函数。

当使用GuiMa之后，还可以形式上使得某些变量为非正整数。比如CuiMaP(256，0．5，2，py3)和CuiMaP(256，0.75，2，py4)。此时可以采用假设：CuiMaP(CuiMaP(bx，ix，cx，pyl)，l／ix，cx，py2)中存在某py2=bx。

这里不给出具体的例子。

从CuiMaP(256，0.5，2，py3)和CuiMaP(256，0.75，2，py4)的求解过程可以看出，对于二阶以上广义幂函数，次数未必是自然数。可以推广：对于CuiMa(bx,ix,cx,py)任意变量皆可以为任意正数。

上述仅仅研究了在正数的情形，对于bx为负数的情况，由于出现断点，此处暂不研究。

3、复立体的起源

1831年，高斯在《哥廷根学报》上指出复数a+bi表示成平面上的一个点(a，b)，从而明确了复平面的概念。高斯也给出了同一复数的代数形式和三角形式。

通常的欧几里得二维推广到三维，即由(aIb)推广到(a，b,c)的时候，参数是同等地位的，即a、b、c是三个维度的表示，而三个维度是没有实质区别的。但是，笔者推广的复立体，给出的三个参数(a，b，c)不是对等的，a是实数参量，b是虚数大小参量，c是虚数的方向参量。这是基于以下理由：正实数是必然存在的，其反方向也是存在的，即实数轴是存在的，其他非实数的两个数不是同一直线上(即不是i和-i)时，可以构成一个立体。

4、复立体定义

如图1所示，在三维空间中存在实轴。在实轴的原点处作垂面l定义为虚面。在虚面上作单位圆定义为虚圆。从虚圆圆上选取某特定的一个直径和实轴组成面2定义为标准复平面。虚圆上其他直径和实轴组成非标准复平面。该体系称为复立体，也称为CuiGe体系。

虚圆上的点即由－1所有二次方根组成。选定的直径为i∠(0)和i∠(-1)(定义见后，前者即为i，后者即为．-i)。

无论标准复平面还是非标准复平面，其面内皆可以进行加减等运算。同时，标准复平面就是现有的复平面，

目前的复平面理论皆适用。

任何复立体中的点，都可以用一个从原点出发的矢量(称为复立体矢量)表示，这种矢量不同于(i.j.k)矢量。同一个复平面内支持平行四边形法则运算，但是，不同复平面内不支持这种运算，即：以实轴原点为起点的复立体矢量，其加法并不能简单的使用平行四边形法则来运算，其原因是iZ(k)中k的定义问题。

这个时候，任何复立体中的点，都表示为axl+bxix。其中，b~ix为广义虚数，ix形式为iZ(x)。

5、复立体讨论

根据公式

w＾z=exp(z*Lnw)

=exp{z*[i*(arg(w)+2kn)+lnlw])}，得到：

i＾i和(-i)^(-i)均为exp[(π／2)+2kπ]。

exp[(π／2)+2kπ]是个多等式，起因是Lnw多值引起。但是，换个角度，也可以认为i值多值引起，即假定定义某个ix，是现有复数i集合的一个元素，对应于Exp{-[(π／2)+2h])}的某个k。不同的ix对应不同的k值。用iZ(x)括号中的数字来区分各个解。由于π/2并非唯一候选值，故括号中的数字为对应于7c，2时候的k。

这样，-1即有无穷二次方根。从上面的复立体角度看，就是这些根均位于同一个平面上。

从历史上看，引进0和负数是为了使得减法对于任意自然数均有意义；引进分数是为了使得除法对于任意选取的两个自然数有意义；实数是为了使得乘方在任意两个正数之间有意义；复数的产生，是为了使得任意实数也可以在乘方下有意义。但上述运算，终止于乘方，即一阶幂值函数，对于更深刻的高阶幂指函数运算，并没有涉及。同时，研究高阶高次幂指函数方程的解的问题，可以扩大人们对于代数基本定理的认识。举例如下：

x＾＾＾2+2×x^^2×x+3=0的高阶幂指函数方程的解的个数。在此情况下，代数基本定理能否继续推广?这里的例子是比较简单的例子，因为实际上高阶高次幂值函数，存在次数不是自然数而是函数的情况。本文就是探讨在高阶幂指函数角度下解的个数问题。

6、小结

代数基本定理没有纯代数证明，数学家塞尔指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的，并在《从微分观点看拓扑》中给出了一个几何直观的证明。而高斯在哥廷根大学的博士论文中给出的严格证明，并且其他人给出的证明，比如刘维尔定理，都依赖于几何工具：要么复平面，要么oxy解析平面。而如果这个几何工具有值得推广的地方，比如推广复平面到复立体体系，即可看出，上述证明都是值得推广的。

另一方面，在复变函数中，i是个集合还是个数，这是研究二阶幂值函数的突破。在复平面中，显然i是个数，而推广到复立体中，i是个数就不是必然的和直观的了。因为局限于平面内，可以定义两个参量1和i来表示整个平面，而i和实轴正交即可。但是对于立体而言，这两个参量就不够了。可以认为，存在无穷个i满足和实轴正交的情况。

7、总结

代数基本定理没有纯代数证明，必须依赖于复平面，而如果把复平面推广到复立体，即可看出代数基本定理只适合于二阶以下广义幂指函数。而推广了复平面的复立体，可以直观的显示i是个集合，里面含有无穷个元素，这些元素位于同一个平面上。

参考文献：　[1]崔雷．幂指函数的推广和其猜想[J]．科协论坛,2011(1)：96．