审题、建模与反思
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美国数学教育学家G·波利亚指出，掌握数学就意味着解题. 但数学问题千变万化，无穷无尽. “题海”茫茫，要使学生身临题海而得心应手，身居考室而处之泰然，就必须提高他们的解题能力.
一、认真审题，捕捉题征信息，优化解题思路
一个题无论是题设、结论，还是整体结构、数字特征、直观图像，都会给我们提供大量的信息，通过分析、联想、想象等一系列思维活动，就可巧妙实现题设与结论之间的逻辑沟通，从而可优化解体思路.
例1 已知实数a，b，c满足等式a = 6 - b，c2 = ab - 9，求证：a = b.
分析 仔细观察题设与结论部分，从中可捕捉到不同的求解信息，以开拓解题思路.
信息1 由题设可知a + b = 6，ab = c2 + 9.
思路1 构造以a，b为根的一元二次方程x2 - 6x + c2 + 9 = 0，由a，b均为实数， 知Δ = （-6）2 - 4（c2 + 9） = -4c2 ≥ 0，从而得c = 0，Δ = 0，所以a = b.
信息2 由题设可知a + b = 6.
思路2 令a = 3 + m，b = 3 - m，则（3 + m）（3 - m） = c2 + 9，即m2 + c2 = 0，因此m = c = 0，所以a = b = 3.
信息3 从结论可知a = b，用辩证观点思考a ≠ b.
思路3 假设a ≠ b，则a ≠ 3，b ≠ 3. 而c2 = ab - 9 = a（6 - a） - 9 = -（a - 3）2 < 0，此与c2 ≥ 0矛盾，所以a = b.
二、据题中信息、有关定义、公理和数学知识建立数学模型
数学在实际生活中的应用也可以说是一个数学建模的过程. 对一个实际问题，我们要将题中信息经过抽象、简化，并依据某种规律建立变量和参数的一个明确的数学关系.
例2 不等式或不等式组模型. 如：某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件. 已知生产一件A需要甲原料9千克，乙原料3千克，可获利润700元；生产一件B需要甲原料4千克，乙原料10千克，可获利润1200元. 现按要求安排A，B两种产品的生产件数，有几种方案？
模型分析：本问题是一个从利润角度安排生产计划的问题，问题涉及的量较多. 首先要明确变量和参数，设生产A种产品x件，则生产B种产品（50 - x）件，由于产品生产受到原料的限制，因此可建立不等式组的数学模型.
三、勤于进行解题反思
解题反思最直接的功能是简化解法，优化认知结构，形成解题策略. 它是掌握解题规律、积累成功经验和失败教训的过程.
例3 如图1，在正方形ABCD和CGEF中，点M是线段AE的中点，连接MD，MF，试探究线段MD与MF的关系.
分析 可直观地猜测线段MD与MF可能相等且垂直. 我们采用分析法进行证明. 结合基本几何图形，连接DF，如图2，证明MDF是等腰直角三角形. 取DF的中点K，只要证MK = ■且MKDF即可. 如图3，延长DM至N，使MN = DM. 连接FN，EN，即要证FDFN，因此，只要证FDC≌FNE.
1. 反思思维过程，优化解题过程
以上分析先是利用几何直观猜想得出了结论，然后通过分析与综合的方法来证明猜想. 其思路是这样的，直观猜想MD = MF，MDMF——需证MDF是等腰直角三角形——取中点K，需证MK = ■且MKDF——需证FD = FN，FDFN——需证FDC≌FNE——需证∠DCF = ∠NEF，且步步可逆. 从这里可知，既然FD = FN，FDFN，即DFN是等腰直角三角形，就可直接得出MD = MF，MDMF，因此取中点K及证明MDF是等腰直角三角形就成了多余的思维回路，删除它便可得简洁证法.
2. 反思题意，探求结论及证明方法
上面论证过程中构造了许多辅助线，那么这些都是怎么来的？我们只要分析图1便可知上述结论并不依赖正方形CGEF的位置，因此我们可以把正方形CGEF绕C点旋转使CD和CF在一条直线上，或使B，C，E三点共线，如图4，都不难发现上述结论与证明方法，而且，这种思路是遵循从特殊到一般的思维过程，比起演绎系统的分析与综合，这种方法知识要求较低，因而难度较小. 而特殊化的方法正是我们处理规律性问题常用的思维方式.
3. 反思解题过程，产生另类证法
反思证明二的过程我们知道，MD与MF的关系仅依赖中点M，在这里，MD，MF的地位是平等的，既然延长DM至N可论证，那么延长FM也同样可证，如图5.
4. 反思解题活动，扩大解题成果
由证明二和证明三的过程我们可以看出，MD与MF的关系只依赖于点M是线段AE的中点，AD = CD，ADCD及FC = 因此，解题反思是解题过程中很重要的一个环节，是解题后的“反思总结”，是解题活动中的“元认知”. 通过它不但可以发现解题活动中的问题，更重要的是弄清了数学问题的深层结构.