巧用动态圆求解磁场极值问题
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摘 要：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，因速度大小和方向的改变导致其粒子具有一系列可能的圆周运动轨迹，本文主要探讨结合题目已有的极值条件恰当选出一个圆弧轨迹求解问题。
关键词：动态圆；圆弧轨迹；磁场极值
带电粒子在圆形匀强磁场中的运动是高考热点问题，许多学生对解带电粒子在有界匀强磁场中运动的极值问题常常无从下手，一做就错，主要是因为对动态圆的运动不能分析得出临界轨迹圆弧。笔者认为，只要针对具体问题的类型，抓住速度大小、方向可变和受力情况这些关键要素，画好由此产生的动态圆，选对具有极值的动态圆，问题就能迎刃而解。
解决带电粒子在匀强有界磁场中偏转问题的基本思路：1.根据粒子的入射初速度情况和受力方向画好运动轨迹；2.根据速度方向或者大小可变的两种情况和极值条件找圆心，画好半径、弦线等；3.根据已知条件找变量之间的力学及几何关系；4.求半径或长度、周期或时间及其他物理量。
例1 如图1所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m，带电量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行。
（1）图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过点A，则初速度的大小是多少？
（2）要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？
解析：（1）如图2所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R1，则由几何关系得R1=■由qv1B=m■得v1=■。
（3）设粒子在磁场中的轨道半径为R2，则由图3几何关系（2r-R2）2=R22+r2得R2=■r，再由qv2B=m■得v2=■。
小结：本题中由于粒子的速度大小可变，所以粒子在磁场中运动轨迹是一系列动态的内切圆，圆心都在垂直于初速度的直线上，其半径随速度的增大而增大，这些圆在环形磁场里形成一组圆弧，根据极值的条件选定对应的圆弧，然后利用圆弧的长度、半径、圆心角和弦线，可解题。
例2 如图4所示，一束带负电的粒子（质量为m、带电量为e）以速度v垂直从A点射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中，且与磁场的边界垂直。
（1）若粒子的速度大小可变，方向不变，要使粒子不能通过磁场的右边界，则粒子的速度最大不能超过多少？
（2）若粒子的速度方向可变，大小不变，则速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短？（已知mv/Be>d）
解析：（1）根据题意，粒子束垂直进入匀强磁场时，所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上，半径与速度大小成正比，所有粒子组成动态的内切圆，得到如图5所示的临界轨迹圆弧。利用几何知识得出其最大半径为d，因洛伦兹力qvB=mv2/r提供向心力，故粒子的最大速度为v=eBd/m。
（2）若粒子的运动速度v大小相同，方向可变时，粒子可能的运动轨迹为如图6所示的一系列轨道相同半径的动态圆，经过作图分析可得当轨迹圆狐对应的弦长为d时，有最短时间（如图7），此时由于θ+β=π/2，γ+β=π/2，得θ=λ，因此α=π/2-arcsinθ=π/2-arcsin■/r=π/2-arcsin■/■。
小结：本题（1）中最大速度对应最大半径，是极限值的隐含条件，在动态园中选择为d最大半圆，就可解题了；在（2）中因入射粒子的速度方向可变，大小不变，其共同规律是：所有粒子的圆心都在以入射点为圆心、以轨道半径为半径的圆上，从而可以找出动态圆的圆心轨迹，磁场中最短的圆弧对应最短的时间，进而可以确定粒子速度的方向。
例3 真空中半径为R=3×10-2m的圆形区域内，有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图8所示。一带正电的粒子以初速度v0=106m/s的速度，从磁场边界上直径ab一端a点处射入磁场，已知该粒子比荷为q/m=108C/kg，不计粒子重力，则若要使粒子飞离磁场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以v0与Oa的夹角θ表示）最长运动时间多长？
解析：如图9粒子在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，满足qBv=m■，解得r=mv/Bq=5×10-2m，θ=arcsinR/r=arcsin0.6=37°，此时弦长对应的圆心角∠aO′b=2θ，其相应的运动时间tmax=■T=■（■）=6.45×10-8s。
小结：本题中由于初速度方向变化，可能有的一系列相同动态圆使粒子磁场里运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大，运动时间也最长。
例4 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于ox轴的速度v从y轴上的a点射入如图10所示第一象限的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不计。
解析：设圆形磁场的圆心为点O2，半径为r，画出做圆周运动的轨迹MN，设半径为R的圆周运动的圆心为O1，则由图11可知R2+R2=（2r）2得r=（■/2）R，由运动规律知qvB=■，解得R=■，故r=■，则S=πr2=■。
小结：该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，若磁场区域很小，则粒子以一定角度向ox轴正方向偏转，相反则以一定角度向原点方向偏转，是动态的。其中只有粒子运动的1/4圆弧必须包含在磁场区域中且圆周运动的起点、终点必须是磁场边界上的点，此临界圆形磁场区域的半径最小。
例5 如图12所示，在0≤x≤a、0≤y≤a/2范围内有垂直于xoy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在XOY平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：
（1）速度的大小。
（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦。
解析：（1）设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，得qvB=m■…………①
由①得R=■…………②
其半径为定值的，但因粒子速度方向不确定，所以粒子可能的运动轨迹为图13虚线所示过O点的一系列动态圆。当a/2
设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系得：
■=Rsinα=R-■…………………④
■=Rsinα=a-Rcosα……………⑤
又sin2α+cos2α=1…………………⑥
由④⑤⑥式得R=（2-■）a……………⑦
由②⑦式得v=（2-■）■……………⑧
（2）由④⑦式得sinα=■…………⑨
小结：本题中粒子在磁场中运动的最长时间作为一个隐含极值条件，对应于动态圆在磁场中最长的运动轨迹的四分之一圆周长，由此可得出相应最长弦长、该圆弧与磁场边界的相切点D和该圆弧所在圆的圆心C，利用动态圆比较分析，深入挖掘，并且借助几何关系计算后才能得出结论。
参考文献：
[1]吕未寒.带电粒子在圆形边界匀强磁场中的圆周运动[J].物理教学，2009，（10）.
[2]严江勇，卢巧玲.利用动态圆巧解带电粒子在有界匀强磁场中运动的极值问题[J].中学物理教学参考，2010，（03）.
[3]章慧雄，陆晖.圆形磁场问题探析[J].中学物理教学参考，2011，（10）.