例说探索性问题的常用解法

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题目将抛物线C：y=－x2+沿x轴翻折，得抛物线C，如图1所示.

（1）请直接写出抛物线C的表达式.

（2）现将抛物线C向左平移m（m>0）个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M， 与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D，E.

①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值.

②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

这是2011年江西中考试卷的第24题，是一道检测同学们数学综合能力的探索性问题. 探索性问题的条件或结论不确定，从而解题的思维与方法不易直接判断和掌握，同学们得分率比较低. 但每年中考都有这种探索性的考题，因此，同学们必须突破这个难点. 下面是我对这类问题解法的一些研究，供大家参考，希望对同学们有所帮助.

1. 判断型探索性问题

判断型探索性问题是指结论设有未知的问题，解决这类问题的基本方法是根据条件进行分析、推理、计算，最终得到结果.

（2011江苏南京）如图2，在ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm， 点P为BC的中点， 动点Q从点P出发， 沿射线PC方向以2 cm/s的速度运动，以点P为圆心，PQ长为半径作圆，设点Q运动的时间为t s.

（1）当t=1.2 s时，判断直线AB与P的位置关系，并说明理由.

（2）已知O为ABC的外接圆，当t为何值时，P与O相切？

（1）直线AB与P相切. 过点P作PDAB，垂足为D. 在RtABC中，因为∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，所以AB ==10 cm. 因为点P为BC的中点，所以PB=4 cm. 因为∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC，所以PBD∽ABC. 所以=，即=. 所以PD=2.4 cm. 而当t=1.2 s时，PQ=2t=2.4 cm. 所以PD=PQ，即圆心P到AB的距离等于P的半径. 所以直线AB与P相切.

（2）因为∠ACB=90°，所以AB为ABC的外接圆的直径. 所以OB=AB=5 cm. 连结OP，因为点P为BC的中点，所以OP为ABC的中位线. 所以OP=AC=3 cm. 因为点P在O的内部，所以P与O只能内切. 根据两圆内切时半径间的关系可知5-2t=3或2t-5=3，解得t=1或t=4. 所以当t的值为1或4时，P与O相切.

2. 可能型探索性问题

可能型探索性问题是指根据题目所给的条件，探索是否存在可能的结果的问题. 解决这种问题的基本方法是假设可能，然后根据题目所给的条件，分析、推理、计算，得到一个结论. 如果结论符合题目要求，说明可能；如果结论不符合题目要求，或推理过程中出现矛盾，说明不可能. 最后再进行总结.

如图3，四边形ABCD是直角梯形，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，则在P，Q的运动过程中，四边形PQCD是否可能为平行四边形？ 如果可能，求出P，Q的运动时间；如果不可能，说明理由.

可能. 因为四边形ABCD是直角梯形，所以AD∥BC. 所以当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形. 设点P，Q运动x s时，四边形PQCD是平行四边形，则AP=x cm，CQ=3x cm. 因为AD=24 cm，所以PD=（24-x） cm，即24-x=3x，所以x=6. 所以当P，Q运动6 s时四边形PQCD是平行四边形.

3. 变化型探索性问题

变化型探索性问题是指题目的部分条件或全部条件变了，探究题目结论是否也发生变化. 解决这类问题的基本方法是根据题目变化了的条件，分析题目各种关系是否发生变化，如何变化，依此推理、计算，得到结论.

（2011广东河源）如图4，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（点P不与A，B重合），分别以AP，PB为边向线段AB的同一侧作正三角形APC和正三角形PBD.

（1）当APC与PBD的面积之和取最小值时，AP=__________（直接写结果）.

（2）连结AD，BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由.

（3）如图5，若点P固定，将PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

（1）AP＝a.

（2）α的大小不会随点P的转移而变化，理由如下：因为APC是等边三角形，所以PA=PC，∠APC=60°. 因为BDP是等边三角形，所以 PB=PD，∠BPD=60°. 所以∠APC=∠BPD. 所以∠APD=∠CPB. 所以APD≌CPB. 所以∠PAD=∠PCB. 因为∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，所以∠AQC=180°－120°=60°.

（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°.

4. 存在型探索性问题

存在型探索性问题是指根据题目所给的条件，探索是否存在符合要求的结论. 这种问题与可能型探索性问题类似. 解决这种问题的基本方法是假设结论存在，根据题目所给的条件，分析、推理、计算，得到一个结论. 如果结论符合题目要求，说明存在符合要求的结论；如果结论不符合题目要求，或推理过程中出现矛盾的情况，说明不存在符合要求的结论.

本文开头的题目就是一个存在型探索性问题，我们可以作以下解答.

（1）y=x2－.

（2）①令－x2+=0，解得x1=-1，x2=1，则抛物线C与x轴两个交点的坐标分别为（－1， 0），（1， 0）. 所以A（－1－m，0），B（1－m，0）. 同时可得D（－1+m，0），E（1+m，0）. 当AD＝AE时，如图6，有（－1+m）－（－1－m）=・［（1+m）－（－1－m）］，解得m=. 当AD=AE时（图略），有（－1+m）－（－1-m）=［（1+m）－（－1－m）］，解得m=2. 所以当m=或m=2时，B，D是线段AE的三等分点.

②存在，理由如下：如图7，连结AN，NE，EM，MA，依题意可得M（－m，），N（m，－），即M，N关于原点O对称，所以OM=ON. 因为A（-1-m，0），E（1+m，0），所以A，E关于原点O对称. 所以OA=OE. 所以四边形ANEM为平行四边形. 要使平行四边形ANEM为矩形，必须满足OM＝OA，即m2+（）2=［－（－1－m）］2，解得m=1. 所以当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.