例谈物理矢量的斜交分解法
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物理问题的求解中常涉及到矢量的运算.通常情况下总是要把有关矢量投影到某些方向上，把矢量式转化为代数式来进行求解.在这一过程中，如果矢量投影的方向选择得好，往往可以使问题的求解过程得到简化，如减少求解过程中所需要的方程个数等；反之，如果没有选择好投影方向，则可能需通过较多的方程来联立求解.联立方程求解本来就麻烦一些，加之由投影建立的方程式中还常常有三角函数，这就使得求解的运算更麻烦了.可见，在此类问题的求解中，矢量投影方向的选择所起的作用不小.应该怎样正确灵活地选定矢量投影的方向，使求解过程简化呢？本文运用一种特殊的分解法――斜交分解法，即运用平行四边形定则，把矢量投影到两个不互相垂直的方向上的分解方法.
例1 在倾角为a的斜面上，放一质量为m的小球，球被竖直木板挡住（图1）.如摩擦不计，求球对斜面的压力.
解析 球受到三个力的作用：地球的重力G，斜面的支持力N，挡板的弹力F（图2），以下有两种解法：
解法1 （正交分解法）：取直角坐标系xOy（图2），分别取得F、G在x、y轴上的投影，然后由平衡条件可得
Fcosa=mgsina，
N=mgcosa+Fsina，
综合可得N=mg（cosa+tanasina）
=mg（cosa+sin2acosa）=mgcosα.
解法2 （斜交分解法）：取非直角坐标系xOy（图3），取得G在x、y轴上的投影，然后由平衡条件可得
N=Gy=mgcosa.
说明 分析比较两种解法，可见合成、分解只是一种等效方法，正交分解只是一种手段，它并不是唯一的方法，有时斜分解法更为简便，以上便是一例.
例2 质量分别为m1、m2、m3的三个质点A、B、C位于光滑水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳AB和BC连接.∠ABC=（π-α），α为锐角，如图4.今有一冲量为J的瞬时冲击力沿BC方向作用于质点C，求质点A开始运动时的速度为多少？
解析 如图5，设三质点开始运动时的速度分别为v1、v2、v3.显然，v1将沿AB方向，v3将沿BC方向，而质点B受到AB、BC两绳的冲量的作用，将使v2指向∠ABC范围内的某一方向.应有：v2沿AB方向投影大小等于v1，v2沿BC方向的投影大小等于v3.依题述条件，对于由A、B、C三质点组成的系统，根据动量定理可得m11+m22+m33=，将上矢量式对AB方向投影有m1v1+m2v1+m3v3cosα=Jcosα，将上矢量式对BC方向投影有m1v1cosα+m2v3+m3v3=J.由上两式解得A开始运动时的速度为
v1=Jm2cosαm2（m1+m2+m3）+m1m3sin2α.
说明 以上解法中是选用两个互相斜交的方向作为投影方向的，其特点是：在这两个方向上的投影方程都巧妙地把未知量v3用其它量代替，由此同样减少了求解所需方程的个数而使求解过程简化；若在本题的解答中仍机械地取两个互相正交的方向（如AB方向及与之垂直的方向）来投影求解，则投影所得的方程中必然会出现v2和v2与BC间的夹角（均为未知量）的三角函数，显然，这将会使求解过程较之上述要复杂得多.读者自行验证.
例3 水平地面上有一半径为R的圆面，在圆心正上方H高处的P点有一物炸得粉碎，均匀地向四面八方以相同的速率v.飞开，求：为了使炸后所有的碎粒都落在地面上的圆内，R、H、v.应满足哪些条件（忽略空气阻力）？
解析 碎粒做初速率相同的各种抛体运动，其中斜上抛运动的碎粒落到地面时水平位移最大.把斜上抛运动分解为沿v0方向的匀速直线运动和自由落体运动，这两个分运动的位移分别为：s1=v0t， s2=12gt2与合位移矢量s构成三角形，如图7所示.
由勾股定理有
x2=s21-（s2-H）2
=（v0t）2-（12gt2-H）2
=-14g2t4+（v20+gH）t2-H2，
这是关于t2的一元二次函数，当t2=2（v20+gH）g2时，x2最大，为
x2max=v20g2（v20+2gH），
为使所有碎粒都落在地面上半径为R的圆内，须有R>xmax，即R>v0gv20+2gH.
结论 综上可知，矢量的分解方法是由分解目的决定的.在选择正确的分解方法前，必须先搞清分解的目的，否则，矢量的分解就是无的放矢.由数学中的矢量知识可知，两个坐标轴的方向不一定要相互垂直，所以，分解方法既可以是正交分解法也可以是斜交分解法，采用何种方法，应视问题的具体情况而定.
应用斜交分解法解决有关物理问题时，可能用到“解斜三角形”物理规律――即正弦定理、余弦定理、拉密公式等等；这应该是“斜交分解法”与“正交分解法”在处理物理问题上的主要区别之所在.尤其在利用“斜交分解法”处理各种抛体运动，是解决抛体运动的一种有效方法和正确途径，如解决斜下抛、斜上抛问题，不但能应用一题多解方式，激发学习兴趣，取得殊途同归的教学效果，而且对培养临场应变能力，增强自信心，活化思维方法，克服思维定势等都是“有百益而无一害”的.因此，恰当地应用“斜交分解法”分析和解决有关运动学问题，对学生智力的开发，思维的锻炼和增强自信心以及提高解题能力和学习成绩等方面，其作用不可低估.