构造函数证明不等式的常见思考途径

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证明不等式是近年高考命题的热点，构造函数法是解决这类问题的重要方法．解题关键在于能够敏锐地观察不等式的结构特征，联想并构造合适的函数．由于不等式和函数并不直接相关联，因此，究竟应该如何寻找解题突破口，如何构造合理可行的函数，也就成为解决问题的关键和难点．下面就构造函数法证明不等式的常见思考途径作一些探讨，以供参考．

一、直接作差，构造函数

如果要证明对于?坌x∈D都有f（x）≥g（x）的不等式，可以直接作差构造新函数h（x）≥f（x）－g（x），x∈D．那么，问题就转化为证明h（x）在D内的最小值大于或等于0．

例1．（2012年高考辽宁理科12）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（ 　 ）

A． ex≤1+ x+x2 　B． ■＜1－■x+■x2

C． cosx≥1－■x2 　D． 1n（1+x）≥x－■x2

解析：设f（x）＝cosx－（1－■x2）＝cosx－1+■x2，则g（x）＝f ′（x）＝－sinx+x，所以g ′（x）=-cosx+1≥0，所以当x∈[0，+∞）时，g（x）是增函数，f ′（x）=g（x）≥g（0）＝0，同理f（x）≥f（0）＝0，即cosx－（1－■x2）≥0，因此，cosx≥1－■x2，故选C．

评注：本题采用直接作差构造函数，通过利用导数分析所构造函数的单调性与最值来证明不等式，需要说明的是，为了证明f（x）是增函数，构造函数g（x）＝f ′（x）=－sinx+x，运用导数工具证明函数g（x）≥0来证明f（x）是增函数．

二、合理转化，构造函数

有些不等式的证明问题，针对待证不等式直接构造函数非常困难，可以对待证不等式合理变形转化，由待证不等式出发不断寻找使得结论成立的充分条件，直到找到容易证明的不等式为止，再根据最后找到的不等式构造函数．

例2．（2012年高考湖北文科22）设函数f（x）＝axn（1－x）+b（x＞0），n为正整数，a,b为常数，曲线y＝f（x）在（1，

f(1)）处的切线方程为x+y=1．（1）求a,b的值；（2）求函数f（x）的最大值；（3）证明：f（x）＜■．

分析：由（Ⅱ）可知f（x）的最大值为f（■）=■，因此，要证明f（x）＜■，只需证明■＜■，即证（■）n+1＞e，即证ln（■）＞■，即证ln（1+■）＞■，令t=1+■，则ln（1+■）＞■可化为1nt＞■，从而只需要证明1nt＞■（t＞1）．

解析：（1）a=1，b=0；（2）f（■）＝■（3）构造函数g（t）＝1nt－1+■，t≥1．g′（t）＝■－■，t≥1．当t＞1时，g′（t）＞0，g （t）在[1，+∞）上递增．因此，当t≥1时，g（t）＞g（1）＝0，即1nt＞■（t＞1）．令t=1+■，则ln（1+■）＞■＝■，即ln（■）n+1＞1ne，所以（■）n+1＞e，即■＜■，所以f（x）＜■．

评注：本题直接证明是非常困难，将待证不等式转化不断逆推寻找，最终将问题转化为证明ln（1+■）＞■，然后通过构造函数g（t）＝1nt－1+■（t＞1）解决问题．

三、适当放缩，构造函数

如果直接构造函数证明不等式比较困难，可以对待证不等式进行适当的放缩，再去构造合适的函数，通过分析函数的性质来解决问题，从而解决比较复杂的问题．当然，放缩要适度，恰到好处．

例3．（2012年高考浙江文科21）已知a∈R，函数f（x）＝4x3-2ax+a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+2－a＞0．

解析：（1）略；（2）由于0≤x≤1，当a≤2时，f（x）+a－2＝4x3－2ax+2≥4x3－4x+2．当a＞2时，f（x）+a－2＝4x3+2a（1－x）－2≥4x3+4（1－x）－2＝4x3－4x+2．设g（x）＝2x3－2x+1，0≤x≤1，则g′（x）＝6（x－■）（x+■），则有：

所以g（x）min=g（■）=1-■＞0．当0≤x≤1时，2x3－2x+1＞0．故f（x）+a－2≥4x3-4x+2＞0．

评注：本题去掉绝对值符号并进行放缩之后构造函数．首先通过放缩，把含有两个变量的不等式f（x）+2－a＞0转化为证明只含一个变量的不等式4x3-4x+2＞0．然后利用导数分析所构造函数的单调性与最值来证明不等式．

四、观察结构，构造函数

对于有些多变量的不等式，可以从观察对待证不等式的结构特点入手，对其进行适当变形，并分析变量的结构特点，构造适当的函数，将多变量问题转化为单变量的函数问题．

例4． （2012年山东省聊城市高三统考题）函数f（x）=x2+b1n（x+1）－2x，b∈R（1）当b＝■时，求函数f（x）的极值；（2）设g（x）＝f（x）+2x，若b≥2，求证：对任意两个不相等实数x1，x2∈（－1，+∞），都有■≥2.

解析：（1）略；（2）因为f（x）＝x2+b1n（x+1）－2x，所以f ′（x）＝■（x＞－1），因为b≥2，所以f ′（x）≥0（当且仅当b＝2，x＝0时等号成立），所以f（x）在区间（－1，+∞）上是增函数．不妨设x1＞x2，则对任意x1，x2∈（－1，+∞），当x1＞x2时，f（x1）＞f（x2），即g（x1）-2x1＞g（x2）-2x2，所以g（x1）-g（x2）＞2（x1-x2），因此，■≥2.

评注：本题解题关键在于将待证不等式适当变形为g（x1）-2x1＞g（x2）-2x2之后，观察结构发现，构造函数f（x）=g（x）-2x，问题转化为证明函数f（x）是减函数即可．

五、消元换元，构造函数

有些不等式含有多个变量，可以对多变量的不等式进行转化变形，通过换元转化成只含一个变量的不等式，然后构造只含一个变量的函数，通过分析函数的单调性极值或最值来解决问题．