一维多球碰撞中的速度分配问题

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摘 要： 本文从波动理论入手，得出了一维多球碰撞过程中的速度分配比例，这一比例由弹性球的杨氏模量和密度决定。常见的交换速度现象仅仅是一种特例，选择合适的材料，可以在实验中观察到其他速度分配情况。

关键词： 波动理论 一维多球碰撞 速度分配问题

两个弹性球发生一维正碰时，将交换速度。而当一个运动的直线正碰一排紧挨着的静止弹性球时，人们往往想当然地认为它们将逐次碰撞而交换速度，其情形相当于两个弹性球相互碰撞的重复，最终效果为入射球与最后一个球交换速度，其余弹性球保持静止。尽管这一结论已经在牛顿摆中得到证实，但是得出“入射球与最后的被碰球交换速度”的结论过于勉强。

为了便于说明问题，下面我以三个弹性球的碰撞为例，对一维多球弹性碰撞问题展开讨论。

1．理论计算

当球A与球B碰撞的过程中，球B与球C之间将不可避免地发生挤压。如果以球A和球B组成的系统为研究对象，动量和能量将不再守恒，那么交换速度的结论也无法得出；如果把球A、球B和球C组成的系统为研究对象，动量和能量显然守恒，但是两个独立的方程无法求解三个小球的末速度。

如果变换一下思路，从波动的角度来看，一维多球碰撞问题，其实就是弹力在弹性球之间的传递问题；一维多球碰撞过程，其实就是一列纵波的传播过程。

考虑在一条直线的三个完全相同的弹性球，球的半径为r，球A以某一速度v向右运动，球B和球C静止（如图1），在球A撞击球B的短暂过程中，可以把球A看作波源，把球B和球C看作介质，球A对球B的撞击情形将以一个恒定的速度向前方传递，这个速度就是纵波在弹性球中传播的速度。

由波动理论可知，纵波在弹性介质中的波速决定于介质的弹性模量及其密度。对于固态介质，纵波的传播速度与杨氏模量有关，其值为:v=，式中E为介质的杨氏模量，ρ为介质的密度。

如果把连续碰撞所对应的纵波抽象为振幅为A简谐波，把球A与球B刚刚接触的时刻记作计时起点，把球A与球B刚刚接触时球A的位置记作坐标原点（如图2），则在开始运动的很短一段时间内，球A的坐标方程为：

x=Asin（ωt）（1）

球A的速度方程为:

v′=vcos（ωt）（2）

球B开始振动的时刻为:

t=t-.

球B的坐标方程为：

x=2r+asin［ω（t-）］（3）

在球A和球B分离的瞬间，球A和球B之间的距离等于2r，即：

x-x=2r（4）

把（1）、（3）代入（4）式可得：

sin（ωt）-sin［ωt-ω）］=0

由和差化积公式可得：

2cos（ωt-ω）sin（ω）=0.

由于sin（ω）是一个与时间无关的常量，可以得到：

cos（ωt-ω）=0

即：

ωt=+ω（5）

把（05）式代入（02）式，可得弹性球A分离的速度为：

v′=-vsin（ω）（6）

以三个弹性球组成的系统为研究对象，由动量守恒定律可得：

mv=mv′+mv′+mv′（7）

由机械能守恒定律可得：

mv=mv′+mv′+mv′（8）

由（7）和（8）联立求解可得，球B与球C分离后的速度为：

v′=

v′=（9）

考虑到碰撞结束以后，球B的速度不大于球C的速度，即v′≥v′，则：

v′=

v′=（10）

为了保证（10）式有实数解，必然有：

v-3v′+2vv′≥0存在，即：

v≥v′≥-v（11）

由（6）和（11）可得

0≥v′≥-v（12）

把（6）代入（10）式可得:

v′=-vsin（ω） （0≥v′≥-v）

v′=

v′=

上式可化简为：

v′=-［sin（ω）］v （0≥v′≥-v）

v′=v

v′=v（13）

式中的v=，E为介质的杨氏模量，ρ为介质的密度.

2．讨论

当弹性球的杨氏模量非常大时，纵波在弹性球中的传播速度v=就非常大，代数式sin（ω）0，上式可以简化为v′=0、v′=0和v′=v，这就是我们在实验中常常见到的交换速度的现象.

因为在常见的碰撞实验中，弹性球多采用钢球，以一般钢球为例，E=200×10N/m，ρ=7.85×10kg/m，则作用力的传播速度可由弹性体中纵波波速公式得出：v==5.04×10m/s.

这一速率与弹性球的直径（通常约为d=3cm）相比实在是太大了，因此观测到的实验结果非常接近于v′=v′=0，v′=v的刚体极限情形.

当弹性球的杨氏模量非常小时，纵波在弹性球中的传播速度v=就比较小，弹性球A的反弹速度v′-v，此时三个弹性球碰撞之后的的速度值分别为：

v′=-v，v′=-v，v′=-v.

当弹性介质的杨氏模量界于极大和极小之间的一般情形时，碰撞以后的三个弹性球的速度值如（13）式所示.此时球A将发生反弹现象，球B的速度小于v，球C的速度大于v，它们之间的速度交换关系将不复存在.这一结论已经在气垫导轨上的三个滑块的碰撞实验中得到证实.

3．结论

由上面的讨论可见，三体以上的一维正碰问题比较复杂，不能用弹性球之间相继碰撞的简单模式来理解，作用力在碰撞体中的传播速度决定了碰撞后各球的速度分配情况，速度极大时对应了实验中常常见到的交换速度的现象。如果选取杨氏模量很小的弹性碰撞球，就可以从实验上观察到其他速度分配情况。

参考文献：

［1］段吉辉，徐从兰，盂昭敏．物理学演示实验手册.

［2］徐目新．中学物理简明手册浙江人民出版社，1980.

［3］李增林．力学．南京工学院出版社，1988.

注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”

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