《四边形》中的创新题
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇《四边形》中的创新题范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
有关四边形的创新题渗透了观察、分析、猜想、验证、推理等数学活动,命题者通过对图形折叠、分割、拼接、变换等的考查,加强同学们对动手操作能力以及想象力和创造力的重视.
一、探求条件型
例1(2007年安徽省)如图1,在四边形ABCD中,已知AB=BC=CD,∠BAD和∠CDA均为锐角,点P是对角线BD上的一点,PQ∥BA交AD于点Q,PS∥BC交DC于点S,四边形PQRS是平行四边形.
(1)当点P与点B重合时,图1变为图2,若∠ABD=90°,求证ABR≌CRD;
(2)对于图1,若四边形PRDS也是平行四边形,此时,你能推出四边形ABCD还应满足什么条件吗?
证明:(1)如图2,∠ABD=90°,AB∥CR,
CRBD.
又BC=CD,∠BCR=∠DCR.
四边形ABCR是平行四边形,
∠BCR=∠BAR.
∠BAR=∠DCR.
又AB=CR,AR=BC=CD,
ABR≌CRD.
(2)如图3,由PS∥QR,PS∥RD,可知点R在QD上,且PS∥AD.又PS∥BC,故BC∥AD.又AB=CD,四边形ABCD是等腰梯形,∠A=∠CDA.
SR∥PQ∥BA,∠SRD=∠A,
∠SRD=∠CDA,从而SR=SD.
由PS∥BC及BC=CD可知SP=SD,而SP=DR,SR=SD=RD.
故∠CDA=60°.
因此四边形ABCD还应满足BC∥AD,∠CDA=60°.
(注:若推出的条件为BC∥AD,∠BAD=60°或BC∥AD,∠BCD=120°等亦可.)
点评:此类问题给出了结论,需要同学们自己去分析、探索使该结论成立所具备的条件,因此常用逆向思维法来解题.
二、探求结论型
例2(2007年山东省青岛市)将平行四边形纸片ABCD按如图4所示的方式折叠,使点C与点A重合,点D落到D'处,折痕为EF.连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形?证明你的结论.
证明:四边形AECF是菱形,证明如下.
由折叠可知AE=EC,∠4=∠5.
四边形ABCD是平行四边形, AD∥BC,
∠5=∠6,∠4=∠6, AF=AE.
AE=EC, AF=EC.
又AF∥EC,四边形AECF是平行四边形.
又AF=AE,平行四边形AECF是菱形.
点评: 此类问题要求同学们能根据所给条件灵活推测、探求结论.
三、猜想探究型
例3(2007年辽宁省大连市)如图5,小明在研究正方形ABCD的有关问题时,得出:“在正方形ABCD中,如果点E是CD的中点,点F是BC边上的一点,且∠FAE=∠EAD,那么EFAE”.他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图6、图7、图8),其他条件不变,发现仍然有结论“EFAE”成立.
你同意小明的观点吗?若同意,请结合图8加以证明;若不同意,请说明理由.
解:同意,证明如下.
如图9,延长AE交BC的延长线于点G.
四边形ABCD是平行四边形,
AD∥BC,∠D=∠ECG.
点E为DC的中点,DE=EC,
又∠DEA=∠CEG,ADE≌GCE.
AE=GE,∠DAE=∠G.
∠FAE=∠DAE,∠FAE=∠G.
FA=FG,EFAE.
点评: 本题将几何证明设计成探索性问题,形成“证明―拓展―猜想―判断―证明”等几个步骤.在解决此类问题时,同学们应注意运用逻辑思维来完成整个推理过程.
四、图形变换型
例4(2007年四川省资阳市)如图10,已知点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点(不与A、C两点重合),PEBC于点E,PFCD于点F.
(1)求证BP=DP;
(2)如图11,若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请给予证明;若不是,请用反例加以说明;
(3)试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与四边形PECF的两个顶点连接,使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等,并证明你的结论.
解: (1)解法一,利用ABP与ADP全等,可得BP=DP.
解法二,利用正方形的轴对称性,可得BP=DP.
(2)不是总成立.
当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,点P旋转到BC边上时,DP>DC>BP,此时BP=DP不成立.
(3)连接BE、DF,则BE与DF始终相等.
在图10中,可证四边形PECF为正方形.在图11中,连接BE、DF,可证BEC≌DFC,从而有BE=DF.
点评: 本题揭示出图形变化中的数量关系,让同学们在旋转变换中探索基本图形中所蕴含的规律,可以考查同学们观察、实验、猜想、证明等方面的能力.
五、图形剪拼型
例5(2007年河北省)在图12中,正方形ABCD的边长为a,等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b,且边AD和AE在同一直线上.
操作示例
当2b
思考发现
小明在操作后发现:该剪拼方法就是先将FAG绕点F逆时针旋转90°到FEH的位置,易知EH与AD在同一直线上. 连接CH,由剪拼方法可得DH=BG,故CHD≌CGB,从而又可将CGB绕点C顺时针旋转90°到CHD的位置. 这样,对于剪拼得到的四边形FGCH(如图12),过点F作FMAE于点M(图略),利用SAS定理可判断HFM≌CHD,易得FH=HC=GC=FG,∠FHC=90°. 进而根据正方形的判定方法,可以判断出四边形FGCH是正方形.
实践探究
(1)正方形FGCH的面积是________;(用含a、b的式子表示)
(2)类比图12的剪拼方法,请你就图13―图15的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图.
联想拓展
小明通过探究后发现:当b≤a时,此类图形都能剪拼成正方形,且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移.
当b>a时,如图16所示的图形能否剪拼成一个正方形?若能,请你在图中画出剪拼的示意图;若不能,简要说明理由.
解:实践探究 (1)a2+b2;(2)剪拼方法如图17―图19.
联想拓展 能;剪拼方法如图20.(图中BG=DH=b)
点评:此题揭示了一种研究问题的重要途径,即“操作示例―思考发现―实践探究―联想拓展”. 同时也采用了类比的研究方法,将某一图形的割补方法使用在相同或相似的其他图形上,凸显了这种研究途径的重要价值.
六、实际应用型
例6(2007年重庆市)小王购买了一套经济适用房,他准备将地面铺上地砖,地面结构如图21所示,根据图中的数据(单位:m),解答下列问题:
(1)用含x、y的代数式表示地面总面积;
(2)已知客厅的面积比卫生间的面积大21m2,且地面总面积是卫生间面积的15倍.若铺1m2地砖的平均费用为80元,那么铺地砖的总费用为多少元?
解:(1)地面的总面积为(6x+2y+18)m2;
(2)由题意得6x-2y=21,6x+2y+18=15×2y.
解得x=4,y=.
地面的总面积为6x+2y+18=45(m2).
铺地砖的总费用为45×80=3600(元).
点评:本题与同学们的实际生活紧密相联,从同学们的生活经验和已学知识出发,创设出生动有趣的情境,引导同学们展开计算或推理,从而获得一些研究问题的方法和经验.多做一下这类题目,能提高大家学习数学的兴趣,使同学们体会到数学的实用性和工具性.
七、方案设计型
例7 (2007年吉林省)图22中是等腰梯形ABCD,其中AD∥BC,AB=DC,图22与图23是完全相同的图形.
请你在图22、图23的梯形ABCD中各画一个与ABD全等但位置不同的三角形,使三角形的各顶点在梯形的边(含顶点)上.
解: 如下图所示.(答案不惟一)
点评:本题操作比较简单,很容易解答. 本题利用操作实践考察同学们的数学思维能力以及分析问题、解决问题的能力,利用开放的评价标准激发同学们的潜能.