小题也有大作为

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【中图分类号】632.479 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）07-0138-01

高三进入二轮复习后，很多教师和学生喜欢把主要精力放在解答题上，而对小题往往是就题论题，缺乏进一步的探讨研究，他们有得解答题者得高分之说，而笔者认为若能研究好小题，充分发挥好它的增值功能，也能提高复习效率，迅速提高分数，下面笔者就近期高三小题训练中的一题为例，谈谈课堂上一些做法，以供同行参考。

例题：长为L（L

引导学生展开讨论：

生1：设F为焦点，分别过A、B、M作准线的垂线，垂足分别为A1、B1、M1，则M到准线的距离 d=｜MM1｜-■=■｜AA■｜+｜BB■｜-■=■(｜AF｜+｜BF｜)-■≥■｜AB｜-■=■L-■。

生2：此解法有问题，因为线段AB不能过F点，所以等号取不到，我的想法是这样的，先设直线AB的方程为y=kx+m，与y=x2联立，消去y得到一个一元二次方程，利用韦达定理求出中点M的轨迹方程，再求M到x轴的最小值。但此法有点运算量。

生3：可设M（x0，y0），直线AB的参数方程x=x0+tcosαy=y0+tsinα(t为参数) ，代入y=x2中，得到关于t的一个一元二次方程，仿生1的方法也可解决问题。

生4：可设A（x1，y1）、B（x2，y2）、M（x0，y0），则y1=x12，y2=x22两式相减得：y1-y2=x12-x22，故直线AB的斜率k=x1+x2=2x0,直线AB的方程为y-y0=2x0（x-x0），与y=x2联立得：x2-2x0x+2x02-y0=0，所以x1+x2=2x0，x1x2=2x02-y0

由弦长公式得:■■=L, 即y0=■+x■■。

令t=1+4x02≥1，y0=■(t+■)-■因为L

生5：刚才的解法都较繁，我们可以先猜后证,先猜出AB平行于x轴时，M到x轴的最小值为■，然后证明■≥■（*）。

证明如下：要证（*）式成立，只要证：■≥■，

即证：2(x12+x22)≥(x1-x2)2+(x12-x22)2，

即证：(x1+x2)2≥(x12-x22)2

即证：1≥(x1-x2)2

也就是证：1≥｜x1-x2｜成立，因为1>L≥｜x1-x2｜，所以（*）式成立。

师点评: 同学们讨论得很精彩，生1虽然解法错误，但起到抛砖引玉的作用，生2、生3、生4都是从正面先求出M的轨迹方程，然后再求M到x轴的最小值，而生5则从另一角度去先猜答案，然后证明，这也是一种解题的思路。值得同学们学习！

师又问：若去掉L

dmin=■,(0＜L＜1)■-■,(L≥1)

引导学生得出结论：

拓展1：长为L的线段AB两端点在抛物线y2=2px(p＞0)上，线段AB中点M到准线距离的最小值为____。

dmin=■+■,(0＜L＜2p)■,(L≥2p)

引导学生作出猜想：

拓展2：长为L的线段AB两端点在椭圆■+■=1(a＞b＞0)上，线段AB中点M到右准线距离的最小值为____。

dmin=■-■,(0＜L＜■)■,(L≥■)。

引导学生继续探讨：

若改为双曲线呢？引导学生猜出答案，并留给学生课后探讨。

在高三二轮复习过程中，通过加强对小题的研究，可充分调动学生的积极性，让学生参与讨论，打开思路，也可达到事半功倍之功效。