“几何概型”教学反思

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几何概型是高中数学课程改革中的新增内容，《普通高中数学课程标准》对几何概型的教学要求指出：介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义．《2009高考说明》中要求：了解几何概型的意义．可见大纲、考纲对几何概型的教学要求都比较低．教科书中选的例题也是比较简单的．但是执教过几何概型这部分内容的教师，却有这样的感受：“几何概型”这一概念的教学比较抽象，学生理解起来困难，遇到具体问题时，时常出错，而且不易找到错误原因．所以对教学内容的理解程度还需进一步深化，教学上还需进一步探索．下面结合笔者的教学实践，谈谈对几何概型教学的一些思考．

1 关于新课引入创设情境的反思

下面三个是新课引入环节的问题：

【问题1】本市人本超市进行有奖销售活动，购物满500元可摇奖一次如图1，规则如下：1奖电视机一台； 2奖高压锅一个；3奖2L食用油一桶；4奖肥皂一块；5奖铅笔一支；6谢谢惠顾.问顾客中得电视机的概率是多大？

【问题2】2008北京奥运会射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环(如图2).从外向内分为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色．金色靶心叫“黄心”.比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm．运动员在70m外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？

【问题3】在500ml的水中有一只草履虫，现从中取出2ml的水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率？

预设是为引出几何概型的概率公式中区域的度量可以是长度、面积和体积．但实际的教学证明效果不是很好．

对于问题1，虽然是不等分区域，但学生立即反应的是区域的面积之比．从运算结果来说是正确的，因为是在圆形的转盘中．但这样的引入还是没能达到预期的目的，不能恰如其分地引导学生关注基本事件是指针的位置，指出基本事件空间和事件发生的区域都有无限多个基本事件，而且等可能，从而启发学生通过角度（或弧长）度量概率．基于以上想法，我认为可以按教材的转盘模型引入（说明概率与区域的位置无关），再添加一个不等分的方形盘（如图3），可以引起学生思维上的冲突，这样老师就能恰到好处地揭示几何概型的本质．

归纳出几何概型的特征后，还可再设计一个反例：如图4，某女生投铅球投到区域1的概率是多少？这个问题不能用几何概型来解，虽然在一次试验中出现的结果有无限个，但是每个结果的发生并不是等可能性．因为某女生的力气较小，1号区域较远，所以投到该区域的可能性当然小一些，所以不能用几何概型计算．这样可加深学生对几何概型特征的理解．

对于问题2，这是一个简单的用面积之比求概率的问题，学生在初中时就计算过此类概率问题．教案预设是点出几何概型的概率也可用面积来度量，但事实上问题1中已有体现．因此，在这里设置问题2，过于简单，思维水平的层次只能停留在原来的状态，仅仅是图式的重现而已．但可以把问题2从“课头问”变为“课中问”．安排在得出概率公式之后．问题设计为：向一个圆中投一石子，击中圆心所在的阴影区域的概率有多大？石子刚好击中圆心的概率是多少？（如图5）．让学生认识到概率为零的事件不一定是不可能事件，进一步认识到几何概型的特殊性，与古典概型的区别．这样知识点可拓宽引申、纵横联系，教学上也有波有澜．

给出问题3时，学生答不上．当我引导学生：“总的基本事件个数可以用500ml水来刻画，事件A包含的基本事件个数可以用取得2ml水来刻画，所以概率为2500．”大多数学生还是一脸的疑惑，不能接受．我再启发他们想象这一条草履虫均匀地溶解在水中等云云，他们还是不思其解．在课堂上我只好跳过，继续后面的内容，但学生的学习热情受到了挫伤．可见问题3设问过难．课后和同事讨论这个问题时，有老师提出质疑：若把条件变为500ml的水中有250只草履虫，此时概率就是1吗？若水中有500只，难道概率就是2吗？后来查阅了一些资料，正确的解释是：500ml水分成250份2ml，看作250个不同的盒子，1只草履虫看作一个小球，可以建立模型：把一个小球放入250个不同的盒子中，任取一个盒子，发现有球的概率是多少.显然概率为1250.变题的模型：把250个不同的小球放入250个不同的盒子中，任取一个盒子，发现有球的概率是多少.概率为1-249250250≈0996016，不是1.当500个小球时，1-249250500≈0996016，不是2.几何概型是新课程的新增内容，对教学内容的理解程度还需深化．

教学中创设成功的情景不仅可以促进学生认知的发展、知识的构建，更有利于学生的兴趣、情感、价值观的生成和体验精神的成长．新课程主张科学世界向生活世界的回归，强调情景创设的生活性．为此，创设成功的问题情境，首先要注重联系学生的现实生活，在学生鲜活的日常生活环境中发现、挖掘学习情景的资源；其次要挖掘和利用学生的经验，把设置问题的难易度确定在学生的“最近发展区”．情景创设还要体现数学学科特色，紧扣教学内容，能够简单明了地让学生发现情景中蕴藏的数学内容和数学问题，激发学生的求知欲，使之产生非知不可之感，达到启发积极思维的目的．

2 关于例题教学的反思

2.1 例题教学要强调“对应点”

人教A版几何概型是这样定义的：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)=构成事件A的区域全部结果所构成的区域(长度、面积或体积)人教版A版《数学必修3》教师教学用书对几何概型的特点补充说明：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个；它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为．

因此，几何概型的教学要突出两点：(1) 事件A发生与哪些点对应；(2) 求出这些点的区域的测度（长度、面积或体积）与全部结果构成区域的测度之比．尤其要强调(1)，即“对应点”的思想．

例 取一根长度为3m的绳子如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？

我觉得教学时可以引导学生思考以下几个问题：

(1) 一个基本事件能否看作与线段上一个点对应？与所有基本事件对应的这些点构成的几何区域是什么？

(2) 事件A发生剪刀应剪在什么位置？

(3) 事件A发生应与线段上什么样的点对应？这些点构成的几何区域又是什么？

(4) 这里的几何区域用什么来度量？

通过这些思考，使学生理解几何概型的概率就是事件A发生对应点的区域测度与从任一个位置剪断对应点的区域测度之比．

2.2 例题教学要抓住“等可能”

教学中，我们发现,学生在把事件空间转化为与之对应的区域时，常常构造出错误的几何区域，往往是因为没有抓住几何概型中的等可能,应引起我们足够的重视．

例2已知等腰直角ABC中，如图8，∠C=90°，在∠CAB内作射线AM，求∠CAM＜30°的概率．

不少学生给出了下列解决问题的思路：在线段CB上截取CM1，使得∠CAM1=30°，当点M位于线段CM1内时，∠CAM＜30°，故∠CAM＜30°的概率为CM1CB=33．

学生的理由是线段CB上的点M与过顶点Ａ在∠CAB内部作的射线AM是一一对应的，这种认识在很大程度上影响了学生对等可能性的理解．为此，我利用《几何画板》软件设计了一个动画，如图9，以A为圆心， AB为半径作出过B的圆弧,设与AC延长线交于点D．设射线AM与该圆弧的交点为P，双击动画按钮，当点P在圆弧BD上匀速运动时，射线ＡM在∠CAB内部作匀速运动,而点M在线段CB上作变速运动，近D点快，近B点慢．这表明，当射线AM在∠ACB内部等可能分布时,相应的点M并不是等可能地分布在线段上．事实上，如图10，设P1、P2为弧BD的两个三等分点，连接AP1、AP2分别交线段CB于M1、M2，不难计算CM2

通过动画演示及理论探讨,使学生即直观又理性地认识到几何概型中的等可能性．

2.3 例题教学适当运用变式

几何概型教学中还有一个难点是概率计算测度的选择．在类似的双动点问题中，该设一个变量还是两个变量，即对几何概型问题作出一维的还是二维的判断，是比较困难的．

为了使学生知其然且知其所以然，我在例题教学上运用变式，即通过对表面相似而实质不同的两道题进行深入的研究，使学生真正理解何时设一个变量，何时设两个变量．

例3 (1) 甲、乙两人各自在300米长的环形跑道上跑步，在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米(跑道上的曲线长度)的概率为多少？

(2) 甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率为多少？

图11

先看(1)：处理方法是把甲(记为点P)看作定点，乙(记为点Q)可在圆周上任意运动（如图11），PA的长度为50m，PB的长度为50m，当点Q在APB上时，甲、乙相距不超过50m，这样双动点几何概型就转化为单动点几何概型．为什么可以这样处理呢？原因是当点P在任意位置时，满足条件的点Q应在APB上运动，而圆弧APB长都等于定值100m，圆周长为300m，所以所求事件的概率是100300=13．

再看(2)：甲、乙各自在跑道上跑步，能不能也固定一个动点处理呢？不妨先看具体的数据：假设线段AB=300m，若甲距离A处20m，则乙距离A处70m之间，事件“两人相距不超过50m”发生；若甲距离A处30m，则乙距离A处80m之间事件发生；若甲距离A处50m，则乙距离A处100m之间事件发生；若甲距离A处80m，则乙距离A处30m到130m之间事件发生；……，由此不难看出，当甲的位置发生变化时，对应地乙到达位置区域测度也在发生变化，不是一个定值，故不能用上述方法处理．事实上，当P、Q在圆周上运动时，将圆周分成两段弧，属于一维几何概型问题，当P、Q在线段上运动时，将线段分成三段，属于二维几何概型问题．

这样的处理可以让学生到达知其然，知其所以然的高度，为以后解决同类问题打开知识的窗口，把学生从题海中解放出来，使学生自主地去类比解决问题．

参考文献:

［1］赵斌，唐永．对几何概型教学的几点建议［J］．中小学数学（高中版），2009，(4)：35―37．

［2］夏文凯．一节精彩的“几何概型”公开课［J］．数学通讯（教师阅读），2009，(8)：13―15．

［3］中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准（实验）［M］．北京：人民教育出版社，2003．

［4］人民教育出版课程教材研究所编著．普通高中课程标准实验教科书数学3必修A版［M］．北京：人民教育出版社，2007．