一道习题引发的讨论

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当代著名的哲学家波普尔认为:“我们能够从我们的错误中学习。”“我们的一切知识都只能通过纠正我们的错误而增长”。在学习中发现错误和问题,是进步和提高的起点。通过思索找到了错误的根源,解决了问题,这就是我们对概念、规律理解上的提高。常有这样的情况,某种错误会在多道题目中一犯再犯,这一定存在着与这一类题目有关的概念性错误的根源,找到这个根源并给予纠正,就会获得一个实质性的提高。所以,提高复习效率的一个重要途径,是要了解学生的错误和疑难,采取有效措施纠正错误,释疑解难。

例题:静止在太空中的飞行器上,有一种装置,它利用电场加速带电粒子,形成向外发射的高速粒子流,从而对飞行器产生反冲力,使其获得加速度。已知飞行器质量为M,发射的是2价氧离子,发射离子的功率恒为P,加速的电压为U,每个氧离子的质量为m,元电荷量为e。不计发射氧离子后飞行器质量的变化,求:

(1)射出的氧离子速度;

(2)每秒钟射出的氧离子数;

(3)飞行器开始运动的加速度。

教师的解法:本题的模型如图1。

■

(1)对氧离子,由动能定理2eU=■mv2,v=2■

(2)每秒射出的氧离子数:n=■=■

(3)以t时间出的氧离子为研究对象,m=nt・m,在力F作用下速度从0增大到v,由动量定理

Ft=mv-0

Ft=nt・mv-0

F=P・■

由牛顿第三定律,氧离子对飞行器的反作用力F'=F,加速度a=■=■・■

对于第(3)小题的解,教师以为是显然的,但你只要去了解学生的情况,会发现学生对此解法感到不好接受。主要问题是,解答中的力F是抽象的,并不具体,他们认为这个力是不“实在”的。

学生问题1:在模型中,有很多个离子在电场中加速,每个离子受到的电场力的反作用力都作用在电场上,也即作用在飞行器上,能否从这个角度求出飞行器受到的作用力?(他们感觉到只有每个离子的作用力和反作用力是“实在”的。)

讨论解答:教师和学生都认为用这种方法是可以求解的,但主要难点是如何求出任一时刻电场中有多少个离子。

设两极间距离是d,电场是匀强的,E=■,每个离子受的电场力F0=2e・E=■。接着是要求出任一时刻电场中有多少个离子。离子从一个极板运动到另一极板的时间是t,

d=■■・t2 t=■

电场中的离子数N=nt=■・■

飞行器受到所有离子反作用力的总和F'=NF0=P・■

结果与上一解法相同。

学生问题2:直接用功率公式P=Fv求解:

F=■=■・■

作用力为前两种解法求出结果的一半,哪种解法错?错在哪里?

讨论:上面解法中把公式P=Fv运用于不断射出的离子。但离子不是匀速的,而是从0加速到v,所以功率公式中的速度应该用平均速度,即P=F■=F・■。

如此求出的结果就与前面两解法求出的结果一致了。

讨论到这里,一个学生提出:力学中好像做过一个类似的题,功率直接等于力乘以速度的。

学生问题3:力学中学过传送带的问题,如图2,传送带以速度v匀速运动,料斗中单位时间内有质量为k的粉状物体落到传送带上,最后与传送带一起运动,要使传送带的速度不变,电动机应增加多少功率?

在力学中的解法:以t时间内落到传送带上的粉末为研究对象,用动量定理求出传送带对粉末状物体的总作用力F=kv,发动机应增加功率P=Fv=kv2。

按现在的理解,增加的功率应为P=F・■=■kv2。

■

讨论:以传送带为研究对象,它以速度v匀速运动,受到一个恒定的摩擦力F作用,增加的功率确实为P=Fv。但以粉末状物体为研究对象,它的速度是从0增加到v的,提供给粉末状物体的功率应该为P'=F・■。可见两个结果在于研究对象不同。那么为什么这两者不相等呢?原来粉状物体速度要从0增加到v,与传送带之间存在一个相对位移,由于摩擦会产生热量。计算知道,产生的热量与物体获得的动能相等,这样发动机增加的功率是提供给粉末状物体的功率的两倍。这样,问题就解决了。

学生问题4:氧离子在电场中加速,氧离子与电场就没有摩擦了吗?如有,离子发动机问题中的答案就应该是另一个了。

讨论解答:产生摩擦的微观图景是相互接触的两物体分子之间的“拉扯”、“碰磕”,使分子无规则运动加剧,机械能转化为内能。带电粒子在电场中运动,不存在这种“拉扯”、“碰磕”,所以不存在摩擦。

学生问题5:直升机的质量为M,螺旋浆使空气以速度v向下运动,使直升机停在空中,发动机的功率应该是多少(不计发动机轴等处的摩擦)?

方法1 螺旋桨作用在空气的作用力F=Mg,把空气以速度v向下推出,功率P=Fv=Mgv。

方法2 螺旋桨作用在空气上的作用力为F=Mg,被推出的空气速度从0增加到v,功率应该为P=F・■v=■Mgv。

应该是哪一个结果正确?

讨论:要具体考察螺旋桨是如何使空气加速的。如果螺旋桨是一个理想的“刚体”,通过与空气分子的弹性碰撞使空气加速,在这个过程中能量从螺旋桨传给空气而没有损失,那么第二种答案是正确的。如果是通过螺旋桨叶片与空气的摩擦使空气加速,那么螺旋桨提供的能量一部分转化为空气的动能,一部分转化为内能,答案应该是第一个结果。由于螺旋桨的叶片也是分子组成的,叶片与空气之间的作用不可能如理想刚体与小球(空气分子)的碰撞,一定有一部分能量转化为叶片和空气中分子无规则运动的动能。另外叶片确实是把空气向下“打出”的,并不如传送带使粉末状物体加速一样,所以答案应介于上两者之间,即■Mgv

事实上,学生在学习中遇到问题和犯错误是难免的,并且只有经过错误,克服错误,产生问题,解决问题,才能获得对知识的真正理解。