证明数学分析中不等式的一些方法
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【摘要】本文主要概括总结了数学分析中，证明不等式的十三种方法，以及探讨了研究证明不等式的意义.从而使我们对不等式证明的相关知识有更加深刻系统的理解，也为数学中许多其他内容的学习提供了一个重要工具.
【关键词】数学分析不等式微分中值定理意义
1引言
不等式是数学分析的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具.在数学领域中占有重要的地位，也是各个时期的数学教材的重要组成部分，在各种考试和竞赛中都有举足轻重的地位.不等式的证明变化大，技巧性强，方法也较多.通过不等式的证明，不仅可以检验基本的数学知识的掌握程度，而且也是衡量数学水平的一个重要标志.因此，掌握一些基本的证明不等式的方法是十分重要也是十分必要的.下面将对不等式的证明方法进行总结.
2 证明不等式的一些方法
2.1 利用导数的定义
此方法不是特别常见，但是在一些特殊的证明中却是非常有用的.
用导数定义证明不等式，此方法适用范围不广，解题时应注意观察问题中的条件与结论之间的关系，有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，已达到化繁为简的目的.
2.2 利用函数的单调性证明不等式
我们知道利用函数的单调性证明不等式是一种较为重要且常用的方法，同时又是一种行之有效的方法.
这种方法的关键在于找好函数（往往是将不等式两边的函数作差）判断函数的单调性，当一阶导数的符号不易判断是，可进一步判断二阶导数的符号.
2.3 利用极值和最值证明不等式
2.4 利用单调极限证明不等式
利用单调极限也是证明不等式的一种方法.若x
2.5 利用微分中值定理证明不等式
直接利用微分中值定理也是证明不等式的一个重要方面.微分中值定理和导数应用是导数知识中的重要内容.微分中值定理主要有：罗尔定理、拉格朗日中值定、柯西中值定理.
用微分中值定理来证明不等式要熟记各个中值定理的应用条件，将原不等式通过变形找到一个辅助函数使其满足中值定理条件.
2.6 利用函数的凹凸性证明不等式
凸函数（凹函数）是一类重要的函数，在不等式的研究中尤为重要，而不等式证明最终归结为函数的特性，所以研究函数的性质就显得十分重要.
2.7 利用泰勒公式证明不等式
泰勒公式沟通了函数与高阶导数之问的关系，如果问题涉及到函数和高阶导数，就可以考虑用泰勒公式.用泰勒公式证明不等式时，常须将函数按某些特定点展成泰勒公式，通过分析余项在 ζ点的性质，而得出不等式.
2.8 利用放缩法
方缩法是不等式证明的极为重要的手段，在许多不等式的证明中都有体现，而放缩的度要恰到好处，这是难点.
2.9 利用辅助函数
辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅助函数.尤其是在遇到函数（x）和其导数′（x）时，要想到辅助函数 F（x）=ex（x），对于解题是十分有帮助的.对于不等式证明中辅助函数的选择还是需要积累的.
2.10 利用被积函数的不等式
利用定积分定义来证明一些不等式是一种十分有效的手段，可以将原来较为复杂的证明转化为较为简洁易懂的证明.
2.11 利用拉格朗日乘数法
在数学分析中拉格朗日乘数法多是用来求条件极值的，但是条件极值反映出来的也是一个不等式，所以对于某些可以转化成条件极值的不等式可以用拉格朗日乘数法来证明.
2.12 利用变上限辅助函数证明不等式
构造变上限辅助函数证明不等式法：对于含有定积分的不等式，可把常数变为变数构造辅助函数，利用变上限积分 xa（t）dt及函数的单调性解决不等式.
2.13 利用著名的不等式证明不等式
利用著名的不等式证明其他不等式要求我们应熟悉掌握数学分析中的一些常用的不等式，掌握了这些不等式我们可以利用他们来直接对其他一些难度较大不等式进行证明.此种方法对学生要求较高，难度也较大，技巧性更强.
3 研究不等式证明的意义
在数学分析中，不等式作为其中重要的部分，发挥着巨大的作用，也是各个年级数学知识的重要内容，同时在现实生活中也能解决一些难度较大的问题，方便且实用.例如拉格朗日乘数法证明不等式的意义就是最优化理念实现的一个行之有效的方法，在线性规划问题中不等式也有着非常重要的作用.同时不等式的研究应在自然学科和社会人文学科以及在我们日常生活中的应用不断的深化和发展.今后不等式的研究主要包括以下各个方面，推广和改进现有的不等式，建立新的不等式，扩大不等式的应用范围，探索不等式的各种方法，研究不等式证明之间的关联，从而寻找到最简单的不等式证明方法.
4 小结
不等式是数学分析中的一个重点也是一个难点，也能为其他数学分支的学习提供一个重要工具.不等式的证明是数学领域的重要内容，也是学习中的一个难点.不等式作为一个系统，其内容较为复杂，其的证明方法也较多，以上只是简要介绍了不等式证明的几种常用方法.
参考文献：
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