变式教学应重视的两个问题
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针对变式教学，顾明远老先生曾作过十分精辟的论述：“变式教学是在教学中用不同形式的直观材料或事物说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征”.通过变式教学能让学生对概念、定理、公式有多角度的理解；同时通过对问题的多层次的变式构造，可以使学生对问题解决过程及问题本身的结构有一个清晰的认识，也能有效地帮助学生积累问题解决的经验和提高解决其他问题的能力.因此变式教学是提高课堂效率的有效途径，是一种行之有效的教学方式.在变式教学中要十分重视以下两个问题.
1. 新授课变式教学要力戒偏离目标
变式教学是目前中学数学课堂中一种常见的教学方式，但有些教师没能准确把握变式教学本质，不顾及知识点本身的落实或者不考虑学生的现有水平和情感体验，造成变式的泛化，使得课堂教学远离教学目标，降低了课堂教学效率.
知识与技能是三维目标中的基础性目标，它是过程与方法，情感、态度和价值观的基础和载体.课堂教学的重要目的是使学生理解和掌握正确的结论，所以每节课都应该有明确的知识目标.若要真正落实具体的知识点，就应围绕本节课的重点、难点展开，不要在细枝末节上大搞变式，更不能脱离知识与技能目标，影响教学目标的达成.
案例1 一位教师在上“一元二次不等式及其解法”（苏教版必修五第三章）时，匆忙地完成了课本内容后，着重研究了如下一个题及变式：
源问题：求不等式5x2-10x+4.8
变式1 如果一元二次不等式的二次项系数小于零，如-5x2+10x-4.8
变式2 能否把x-0.8x-1.2
变式3 求不等式3x+2x-2>1的解集.
变式4 求不等式3x+ax-2>1的解集.
本课的重点是从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.难点是理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系.变式2到变式4都是对分式不等式进行变式，虽然这几个变式都能转化到一元二次不等式求解，但本节课的重点并不是分式不等式的解法.此变式的设计中所体现的难点是分式不等式转化到一元二次不等式的化归方法的领悟以及含参数不等式的解法，显然这几个变式没有围绕一元二次不等式解法的重、难点进行.所以此变式的设计表面上层层推进，实际上不仅增加了又一个学习难点，加重了学生的学习负担，而且冲淡了教学重点，偏离了教学目标.
2. 复习课变式教学要突出知识迁移
变式教学在高三数学复习课中经常被采用，其目的是使学生对知识与方法达到深入的理解.在变式教学中，数学认知理解一般要经历三个层次：其一，操作性理解，即学生懂得了数学的基本概念、原理和方法，能够运用所学知识解决一些识记性与操作性步骤比较强的简单的问题；其二，关系性理解，即学生对数学知识的本质有比较深刻的认识，能够把握数学知识之间的内在联系和规律，能够运用所学知识解决一些综合性问题；其三，迁移性理解，即学生深刻理解数学知识，能够将数学思想、方法以及所学数学知识迁移到别的情景，能够灵活运用数学知识解决问题.
案例2求函数f（x）=x2-2x+3在区间-1，2上的最大值和最小值.
此问题的求解，比较规范的操作性步骤一般是：第一步：配方，求出对称轴方程（不拘泥于配方法）；第二步：画图，即画出开口方向及对称轴的位置；第三步：截段，即截取给定区间上的一段图象.这样，观察便知，函数在什么时候取到最大值和最小值.更简便地，只要比较函数顶点和闭区间两个端点处的函数值的大小，即可得最大值和最小值.学生只要懂得这些简单的原理和方法，无需过多训练，便能非常熟练地求解这类问题.这种理解只是操作性理解.
然而，不少学生却未能正确求解下列问题：
变式1：
问1：若函数f（x）=x2-2tx+3在区间-1，2上的最大值是2，求实数t的值.
问2：设函数f（x）=x2-2x+3在区间-1，2上的最小值是g（t），求g（t）的解析式.
问3：设函数f（x）=x2-tx+3在区间t，t+1上的最小值是g（t），求g（t）的解析式.
为什么在给定函数解析式和确定的区间后，学生能熟练地求解？一个很重要的原因是因为图象确定，其解题的原理和方法有比较强的识记性与操作性.而现在，问1中，对称轴动、区间定；问2中，对称轴定、区间动；问3中，对称轴动、区间动，函数的图象不确定，函数顶点和闭区间两个端点处的值的大小也不确定，仅仅靠操作性理解水平，一部分学生无法完成最后解答.
那么，如何促使学生从操作性理解水平，发展到关系性理解水平，正确求解这类问题呢？
首先，得明白求函数在某区间上的最值问题，关键是要解决一个什么问题，要让学生弄清，而不是不加理解地识记所谓的操作性步骤.我们认为，求函数在某区间上的最值问题，主要是要“明朗”区间内的单调性问题.而对于二次函数来说，主要是分清楚对称轴与区间的相对位置，即比较区间端点与对称轴的位置.如果学生对此有比较深刻的认识，那么不论是对称轴动、区间定，还是对称轴定、区间动，抑或对称轴动、区间动学生均能迎刃而解.也即，求解此类问题，需要学生达到关系性理解水平，即对此类问题涉及的数学知识本质有比较深刻的认识，对单调性判断、不等式求解、分段函数表示等知识之间的内在联系和规律有比较好的把握.鉴于此，教学中，只要选择上面3个问题中的其中1个问题，引导学生深入分析即可.
那么，如何开展教学活动呢？教学中该关注学生哪些方面呢？
第一，得让学生明白分类讨论的必要性.可提出问题：读题后，你会怎样去思考？说说你的想法.教师要让学生充分地表达自己的想法，当学生提出：比较函数顶点处与两个端点处的函数值时，教师可追问：函数顶点一定在给定区间内吗？如果顶点落在给定的区间内，那么你怎么比较顶点与两个端点处的函数值呢？如果顶点不落在给定的区间内，那又怎么办呢？当学生提出：按照“配方——画图——截段”的操作步骤求解时，教师可追问：图象确定吗？如果图象确定，那该如何截取一段？如果图象不确定，那又怎么办呢？让学生自然地领悟到该问题需要分类讨论.
第二，得让学生掌握分类的标准.数学是自然的，当学生明白需要分类时，一个很自然的想法就是：按照什么来分类？教师可让学生说说自己的想法，若学生未能表述，教师可启发：求所给区间内函数的最值，主要关心的问题是所给区间内函数值的变化情况究竟怎样，这就要求我们研究函数在所给区间内的单调性.那该怎样分类呢？学生联系二次函数单调性可按照对称轴来区分这一知识，不难明白：可以按照对称轴与给定区间的相对位置来区分，即对称轴在区间的左边，单调性怎么样；对称轴在区间的内部，单调性怎么样；对称轴在区间的右边，单调性怎么样.
当学生明白了分类讨论的必要性和分类的标准后，其对问题的认知水平实际上已由操作性理解提升到了关系性理解水平，以上3个问题便可熟练求解了.然而，在日常教学中，当我们改变一下函数的背景，将二次函数换成一个三次函数，或者一个平移后的反比例函数，或者一个三角函数，或者一个对数、指数型的函数等等，有些同学就又不大会了.
变式2：
问4：求函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），在区间[1，e]（e为自然对数的底数）上的最小值及相应的x值.
问5：已知函数f（x）=x-a-9x+a，x∈[1，6]，当a∈[1，6]时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）.
为什么不会呢？那是因为，他对问题的认知仅仅停留在关系性理解水平上，还没有跃升到迁移性理解的水平.
为让学生熟练求解不同函数背景的同类求最值问题，教师得进一步引导学生认识问题的本质，将自己对问题的认知从关系性理解水平提升到迁移性理解水平.