珠链的研究

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1 问题重述

将一串很长的珠链中足够长的一部分拉到烧杯边缘上方释放。由于重力作用，这串珠子的速度逐渐增加。在某一时刻，这串珠子脱离烧杯边缘而腾空飞起。现在我们要研究并解释这种现象。

2 处理思路

本文要解决的问题是：

1）解释珠链离开烧杯边缘的基本物理原理，并求得珠链刚离开烧杯边缘时的临界速度vl。

2）证明如果珠链无限长，存在一个稳定、可重复出现的物理的现象，并给出条件。

3）在稳定的基础上，研究稳定下落速度vmax、烧杯摆放高度H之间的关系。

3 珠链飞起的基本物理原理

3.1 过程描述

珠链无论以何种方式释放，在重力的作用下，势能转化为动能，珠链的速度应该是不断增加的。然而对于单个珠子来说，它做的是圆弧形的曲线运动（如图所示，假设烧杯边缘较厚）。因此当速度达到一定值时即临界速度vl，珠链将离开烧杯边缘（条件是要能够达到，也许稳定下落速度vmax小于临界速度vl）。

3.2 理论说明

在分析之前，先简化模型：1）将烧杯边缘加厚。2）忽略各种摩擦以及碰撞；仅对圆弧形珠链的最上头的那颗珠子进行受力分析（见上图）。

，其中N为杯缘对珠子的支撑力

现只对y方向进行研究，应有： ，其中r为

珠子运动轨迹的半径。

一开始r=R，其中R为杯缘半径。

综上，应有：

1）随着v增大，F1、F2变化不大，r=R保持不变，而N将明显减小。当N=0时即达到临界状态，有：

2）若此时下落速度在增大，由于左边基本不变，则r必须增大，有r>R，表现为珠链脱离烧杯边缘而飞起来了。

3.3 求临界速度vl

1）给出珠链的参数：每个珠子的半径为r0，珠子之间的细绳长为d0，每个珠子的质量为m，珠链的线密度为λ。忽略细绳的质量的，则可以得到下述关系式：m=λ（2r0+d0）。

2）求珠链被拉起时的反冲力（如图示），如果珠链以速度v被拉起。求拉力F。

应用角动量定理：

可得到：F=λhg+λv2，其中λv2项即反冲力。

3）在此处理式子：

认为F1与F2相差不大，即F1=F2=λvl2；而；又

m=λ（2r0+d0）。故由上述式子可求得

4）由上课总结如下：临界速度与珠链的性质有关，珠子的疏密程度不同会有不同的临界速度。与杯沿半径以也有关，半径越大，越难跳起。但上述研究是临界速度要能够达到，若珠链下落的速度始终达不到临界速度，照样看不到珠链跳起的现象。因此有下文分析。

4 稳定性分析

速度不可能无限增大，因为速度越大，撞地的珠子的能量损失也就越大，而系统提供的势能是有限的。故珠链下落的速度存在一个极大值也就是稳定值。

4.1 假设稳定并证明

用杯子做珠链下落实验时，发现飞起的珠链上下、左右晃动得厉害。珠链的形状不能稳定。我认为晃动是由于珠子的起跳位置不同而造成的（高度hq不同，水平位置dq不同，见图）。因此，只要控制hq和dq，使每一个珠子的起跳高度和起跳水平位置都一样，则认为能够得到相对稳定的跳起的圆弧形状。

实验验证：

1）实验思路。将圆形杯缘展成直线边缘，如图所示。这样便很好地控制了所有珠子的hq和dq都是一样的。

让珠子从边缘落下。当从侧面观察时，只有能看到在不同时刻，跳起的珠链圆弧形状相对稳定，则假设1是正确的。

2）实验器材。有边缘的导轨长3 m，塑料杯子（剪出一个缺口），数码相机连拍参数120 fps。

3）实验步骤。先让珠链从杯子中跳出（达到稳定状态），当杯子中的珠子落完后，由杯子的缺口将珠链引入导轨。用相机从侧面拍摄珠链在导轨不同位置的的

形状。

4）结果。观察实验图像可以发现，第1幅，第7幅，第12幅图中，跳起的珠链的形状都是一样的。故假设得证。

4.2 稳定速度分析

用能量的观点来求珠链下落的稳定速度vmax。如下图所示，取n个珠子做研究。

t时刻，1号球在杯中，速度为0，空中有n—1个球，而且速度大小均为vmax。

t+1时刻，1号球已经具备速度vmax，第n个球撞地，撞地之后，可认为其速度等于0。

系统能量减小量为mgH，系统能量损失，应有：

即 。事实上能量损失比这要大，所以速度应小于理论值。

实验验证：

1）测稳定下落速度

操作

首先在珠链上用红色标记一小段，然后在墙壁上标记尺寸。

（下转第227页）

（上接第221页）

让珠链在墙壁边下落，用数码相机抓拍珠链中的红色标记。（控制烧杯高度为100 cm至200 cm之间的值）

计算思路

从照片中大致可以测得第m（1021）幅照片到第n（1033）幅照片，红色标记下落的距离d（39.5cm）。由于相机连拍参

数120fps，故可以求得。则估测的稳定下落速度

给出一图示如下，此图为H=100时的情况。

用上述方法可到如下数据

4.3 实验分析

测得的下落速度与理论值相差不大。基本可以得出稳定下落速度vmax是随着烧杯摆放高度H的增而增大的。

5 总结

通过上述分析我们可以得到如下结论：

1）珠链之所以能飞起来，是因为珠子做离心运动，速度太大。飞起来后珠链不再受烧杯边沿的影响。

2）如果控制各个珠子的初始起跳条件都一样，则能够观察到稳定形状的圆弧段。

3）珠链的稳定下落速度与烧杯的摆放高度正相关。

参考文献

[1]李承祖，杨丽佳.大学物理学[M].北京：科学出版社，2009.