类比推理的几种类型

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摘要：类比是数学中常用的一种推理方法。教师在鼓励学生大胆运用此法提出猜想的同时，也要注意让学生对类比结果保持谨慎的态度。

关键词：数学；类比推理；例题

中图分类号：G420文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）18-085-1

类比在数学中应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的。但是类比推理在所有的推理中又是最不严格，最不准确的，它是一种或然推理，其结论正确与否有待实践证明。本文将对高中数学中几种常见的类比推理作一汇总。

1.从二维平面类比到三维空间

例1命题p：若SSAB的两边SA、SB互相垂直，点S在AB边上的射影为H，则SB2=BH・AB。

命题q：若四面体VABC的三个侧面两两垂直，点V在底面ABC上的射影H，

详注：从一个特殊式子的性质，一个特殊图形的性质入手，产生类比比理型问题。求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键。

2.从椭圆类比到双曲线

例3命题p：椭圆x2a2+y2b2=1的斜率为1的弦的中点在直线x2a2+y2b2=0上。

命题q：双曲线x2a2-y2b2=1的斜率为1的弦的中点在直线x2a2-y2b2=0上。

证明：

详注：有一些处理问题的方法，具有类比性，结合这些方法产生的问题，在求解时，要注意知识的迁移。

3.从等差数列类比到等比数列

详注：类比某些熟悉的概念，产生的类比推理型试题，在求解时可以借助原概念所涉及的基本方法与基本思路。

4.从实数类比到复数

例6对于非零实数a、b，以下四个命题都成立：

那么，对于非零复数，a、b仍然成立的命题的所有序号是②、④

解：此类题目可举反例验证。①中a=i时，不成立，③中a、b互为共轭复数时，不成立。

例7给出下列类比推理命题：（其中R是实数集，C是复数集）

①a、b∈R，则a-b=0a=b

类比推出若a、b∈C则a-b=0a=b

②a、b∈R，则ab=0a=0或b=0

类比推出若a、b∈C则ab=0a=0或b=0

③a、b∈R，则a-b>0a>b

类比推出若a、b∈C则a-b>0a>b

④a、b∈R，则a2+b2≥0

类比推出若a、b∈C则a2+b2≥0

所有命题中类比结论正确的序号是①②

评注：借助类比推理进行命题是命题改革产生的一类新型试题，应要注意对课本知识的联想及迁移。

从以上几类题型可以发现，类比作为一种推理方法，能成就伟大的发现，但也会导致美丽的错误。一方面，我们应鼓励学生在学习数学的过程中要相信自己的想象力，大胆地创造性地运用类比的方法提出猜想，而不必过多地考虑结论的对与错，更不必回避错误的类比；但另一方面应让学生明确类比并不是具有证明效果的推理方法，对类比的结果应保持谨慎的探索的科学态度，通过图形印证，特例反驳等各种手段进行检验，直至用逻辑的方法进行严谨的证明。