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类比推理的几种类型

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摘要:类比是数学中常用的一种推理方法。教师在鼓励学生大胆运用此法提出猜想的同时,也要注意让学生对类比结果保持谨慎的态度。

关键词:数学;类比推理;例题

中图分类号:G420文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2013)18-085-1

类比在数学中应用广泛,数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、有限与无限之间有不少结论,都是先用类比法猜想,而后加以证明的。但是类比推理在所有的推理中又是最不严格,最不准确的,它是一种或然推理,其结论正确与否有待实践证明。本文将对高中数学中几种常见的类比推理作一汇总。

1.从二维平面类比到三维空间

例1命题p:若SSAB的两边SA、SB互相垂直,点S在AB边上的射影为H,则SB2=BH・AB。

命题q:若四面体VABC的三个侧面两两垂直,点V在底面ABC上的射影H,

详注:从一个特殊式子的性质,一个特殊图形的性质入手,产生类比比理型问题。求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键。

2.从椭圆类比到双曲线

例3命题p:椭圆x2a2+y2b2=1的斜率为1的弦的中点在直线x2a2+y2b2=0上。

命题q:双曲线x2a2-y2b2=1的斜率为1的弦的中点在直线x2a2-y2b2=0上。

证明:

详注:有一些处理问题的方法,具有类比性,结合这些方法产生的问题,在求解时,要注意知识的迁移。

3.从等差数列类比到等比数列

详注:类比某些熟悉的概念,产生的类比推理型试题,在求解时可以借助原概念所涉及的基本方法与基本思路。

4.从实数类比到复数

例6对于非零实数a、b,以下四个命题都成立:

那么,对于非零复数,a、b仍然成立的命题的所有序号是②、④

解:此类题目可举反例验证。①中a=i时,不成立,③中a、b互为共轭复数时,不成立。

例7给出下列类比推理命题:(其中R是实数集,C是复数集)

①a、b∈R,则a-b=0a=b

类比推出若a、b∈C则a-b=0a=b

②a、b∈R,则ab=0a=0或b=0

类比推出若a、b∈C则ab=0a=0或b=0

③a、b∈R,则a-b>0a>b

类比推出若a、b∈C则a-b>0a>b

④a、b∈R,则a2+b2≥0

类比推出若a、b∈C则a2+b2≥0

所有命题中类比结论正确的序号是①②

评注:借助类比推理进行命题是命题改革产生的一类新型试题,应要注意对课本知识的联想及迁移。

从以上几类题型可以发现,类比作为一种推理方法,能成就伟大的发现,但也会导致美丽的错误。一方面,我们应鼓励学生在学习数学的过程中要相信自己的想象力,大胆地创造性地运用类比的方法提出猜想,而不必过多地考虑结论的对与错,更不必回避错误的类比;但另一方面应让学生明确类比并不是具有证明效果的推理方法,对类比的结果应保持谨慎的探索的科学态度,通过图形印证,特例反驳等各种手段进行检验,直至用逻辑的方法进行严谨的证明。