基于部分噪声子空间DOA估计的性能分析
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摘 要： 基于子空间DOA估计的MUSIC算法，是将阵列输出数据的协方差矩阵进行特征分解后，利用与信号分量相正交的噪声子空间来估计信号波达方向。然而在进行谱估计之前，需要对信号源的数目进行估计，以确定信号子空间和噪声子空间的维数，这将增大DOA估计的复杂度。对利用部分噪声子空间进行谱估计的方法进行了阐述，由于其不需要进行信源数目的估计，因此可以减小谱估计的复杂度。计算机仿真实验和性能分析验证了该方法的性能。
中图分类号： TN911?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2013）07?0047?04
0 引 言
空间谱估计中，基于子空间DOA估计的算法，如多重信号分类（MUSIC）[1]算法、ESPRITE[2?3]算法等是一类经典的高分辨算法。这一类算法的提出开创了空间谱估计算法研究的新时代，促进了特征结构类算法的兴起和发展，该算法已成为空间谱估计理论体系中的标志性算法。MUSIC算法的基本思想则是将任何阵列输出数据的协方差矩阵进行特征分解，从而得到与信号分量相对应的信号子空间和与信号分量相正交的噪声子空间，然后利用这两个子空间的正交性来估计信号入射方向等参数。
然而在进行谱估计之前，需要对信号源的数目进行估计，以确定信号子空间和噪声子空间的维数，这将增大DOA估计的复杂度。有人认为在对协方差矩阵进行特征分解后，只有最小的特征值对应的特征向量才是真正的噪声子空间（本文称为部分噪声子空间）。因此如果直接利用该部分噪声子空间进行空间谱估计，将不再需要进行信源数目的估计，可以降低系统在实现过程中的复杂度，以及提高谱估计的时效性。
本文对利用部分噪声子空间进行谱估计的方法进行了阐述，并用计算机仿真进行了对比说明。仿真结果显示，利用部分噪声空间进行谱估计的性能和利用全部噪声子空间进行谱估计的性能接近。
1 均匀线阵模型
均匀线阵[4]由于其导向矢量矩阵具有Vandemonde矩阵的结构，其分析较为容易，同时由于其可划分子阵进行平滑解相干，因此有许多基于子阵平滑的算法[5?6]，这里以均匀线阵进行分析说明。其模型如图1所示，均匀线阵共有M个阵元，共有N个信号[si]（t），i=[1，2，…，]N，第i个信号入射方向（与线阵法线的夹角）为[θi]，设最左边的阵元为参考阵元，第[l]个阵元接收的数据为：
[xl（t）=i=1Nal（θi）si（t）+nl（t）， l=1，2，…，M] （1）
式中：[al（θi）=e-jω0τli]，[τli=（l-1）dsinθic]，[ω0=2πf=2πcλ]，c为电磁波传播速度，l为波长；[nl（t）]为第[l]个阵元在t时刻的噪声。整个阵列接收数据可写成如下形式：
[X（t）=[x1（t） x2（t） … xM（t）]] （2）
写成矢量形式如下：
[X（t）=AS（t）+N（t）] （3）
式中：X（t）为M×1维快拍数据矢量；S（t）为N×1维信号数据矢量；N（t）为M×1维噪声数据矢量；A为空间阵列的M×N维导向矢量矩阵。其中：
[A=[a1a2…aN]] （4）
[ai=[1exp（-jωτ2i）…exp（-jωτMi）]H] （5）
[S（t）=[s1（t）s2（t）…sN（t））]H] （6）
[N（t）=[n1（t）n2（t）…nM（t）]H] （7）
均匀线性阵列模型
2 基于部分噪声子空间的DOA估计
2.1 超分辨MUSIC算法[7]
MUSIC算法是一类经典的超分辨算法，MUSIC算法是对协方差矩阵进行特征分解，利用噪声子空间进行谱峰搜索，得到高分辨的波达方向估计。
阵列接收数据的协方差矩阵为：
[R=E[XXH]=AE[SSH]AH+δ2I=ARSAH+δ2I] （8）
对[R]进行特征分解有：
[R=USΣSUHS+UNΣNUHN] （9）
式中：令[Σ=ΣS+ΣN=λ10…00λ2…000??00…λM]，为矩阵经过特征分解之后的特征值矩阵。[US]是由大特征值对应的特征矢量张成的子空间也即是信号子空间，而[UN]为由小特征值对应的特征矢量张成的子空间也即噪声子空间。考虑到实际接收数据矩阵是有限长的，数据协方差矩阵的最大似然估计为：
[R=1Li=1LXXH] （10）
对[R]进行特征分解可以计算得到噪声子空间特征矢量矩阵[UN]。由于噪声的存在[a（θ）]与[UN]并不能完全正交，因此实际上求DOA是以优化搜索实现的，即求[aH（θ）UNUHNa（θ）]的最小值。所以MUSIC算法的谱估计公式为：
[PMUSIC=1aH（θ）UNUHNa（θ）] （11）
需要说明的是，此处的噪声子空间是经过信源数目估计后而确定。比如，当阵元数目为M，而信号数目为P时，则噪声子空间为M-P个小特征值对应的噪声子空间。
2.2 基于部分噪声子空间进行DOA估计
本节介绍由部分噪声子空间进行谱估计的原理及方法。由上节内容可知，若整个阵列有M个阵元，P个信源，且P
在无噪声的理想情况下，信号子空间和噪声子空间是完全正交的，数据协方差矩阵经过特征分解后的特征值满足：
[λ1λ2…λP>λP+1=…=λM] （12）
得到的M-P个小特征值应该相等，即[λP+1=…=λM]。但是，由于各种因素的影响，导致噪声子空间的各特征值并不完全相等，其特征值具有如下形式：
[λ1>λ2>…>λP>λP+1>…>λM] （13）
由于特征值不再具有式（12）的特点，因此需要用到关于信号源数估计的方法，如AIC准则[8]、MDL准则[9]、及CCT[10]等方法进行信源数目的估计。
但是，如果进一步分析，可以发现，正是由于噪声、有限的数据长度等因素的存在，使得信号子空间和噪声子空间的不完全正交，噪声子空间的特征值在一定程度上变大。因此，可以考虑将最小的特征值[λM]对应的矢量作为噪声子空间，从而进行空间谱估计。这是因为，由于在所有特征值当中，[λM]的值最小，也就意味着其受各种非理想因素的扰动也是最小的，其更接近实际的噪声子空间。
由于将最小特征值对应的噪声矢量作为噪声子空间时，只需要考虑一个特征值及其对应的噪声矢量，因此在进行谱估计的过程中无需进行信源数目的估计，这可以大大简化整个谱估计的过程及复杂度，提高时效性。
获取部分噪声子空间的原理图图2中[U1～UP]为[P]个大特征值对应的特征向量，[VP+1～VM]为M-P个小特征值对应的特征向量，部分噪声子空间采用最小特征值对应的特征向量[VM]作为空间谱估计的噪声空间向量。得到噪声子空间后，即可进行空间谱估计。
获取部分噪声子空间
2.3 改进的基于部分噪声子空间进行DOA估计
上节对利用部分噪声子空间进行DOA估计的方法进行了说明，虽然利用最小特征值对应的噪声向量进行DOA估计时，不需要估计信源数目，但其在一定程度上减小了噪声子空间的维数，因此其估计的稳定性会有所下降，因此这里给出一种改进的基于部分噪声子空间DOA估计方法。
其思想是对基于部分噪声子空间DOA估计的直接推广，其噪声子空间不再由最小特增值对应的噪声子空间直接构成，当阵元数目足够大时，用最小的某几个特征值对应的噪声向量构成噪声子空间。该方法能够增强谱估的稳定性，达到和利用全噪声子空间方法接近的性能，但同样免去了对信源数目的估计。
因此，这里将采用部分噪声子空间进行空间谱估计的步骤总结如下：
（1）由阵列的接收数据得到数据协方差矩阵[R]；
（2）对[R]进行特征分解；
（3）找出最小的特征值或最小的某几个特征值对应的特征向量，确定噪声子空间[VM]；
（4）进行谱峰搜索；
（5）找出极大值点对应的角度就是信号入射方向。
下面将通过仿真对采用部分噪声空间的进行谱估计的性能进行验证。
3 性能仿真
不失一般性，阵列采用4阵元均匀线阵，阵元间距采用最高频率的半波长，即[d=λ2]，快拍数为256。
仿真实验1：部分噪声子空间和全噪声子空间测向比较
对于4阵元均匀线阵，MUSIC测向算法最多可以测3个独立信号，此时子空间为由最小的特征值对应的噪声向量构成，因此，和利用部分噪声空间的情况一致，因此，用2个信号来比较利用部分噪声子空间和利用全噪声子空间测向时的性能。设信号为窄带调频信号，中心频率3 GHz，信号个数为2，波达方向为[23°，45°]噪声为加性高斯白噪声，信噪比为10 dB，采用50次独立实验的均值。利用部分噪声子空间和全噪声子空间的测向结果
不同信噪比条件下的误差
中可以看出，对于部分噪声子空间和全噪声子空间，两种方法都能够对来波进行精确的测向。虽然部分噪声子空间法在其他角度的空间谱较全噪声子空间法而言，值要大些，但部分噪声空间的峰值也更加尖锐。总的来说，本仿真中，两种方法的测向性能接近。
仿真实验2：部分噪声子空间和全噪声子空间测向均方根误差比较
本仿真比较部分噪声子空间法和全噪声子空间法测向时，在不同信噪比条件下的均方根误差性能。设有一感兴趣信号，该信号为窄带调频信号，中心频率3 GHz，波达方位角为35°，噪声为加性高斯白噪声，采用50次独立实验的均值。进行50次独立仿真，仿真结果如图4所示。
不同信噪比条件下的均方根误差（实验2）
可以看出，在较低信噪比条件下，全噪声子空间表现出较好的估计性能，而部分噪声子空间的性能则差于全噪声子空间法。但是随着信噪比的不断提高，部分噪声子空间的估计精度逐步提高，在较高信噪比条件下，其估计性能和全噪声子空间法是一致的。因此，在较低信噪比条件下，由于部分噪声子空间法使得噪声子空间的维数下降，造成在一定程度上谱估计的稳定性有所下降，但随着信噪比的提高，其估计性能会逐步提高。
仿真实验3：改进的部分噪声子空间法和全噪声子空间法测向均方根误差比较
本实验采用最小的两个特征值对应的向量构成噪声子空间进行仿真，设信号为窄带调频信号，中心频率3 GHz，波达方位角为35°，噪声为加性高斯白噪声，进行50次独立实验，仿真结果如图5所示。
不同信噪比条件下的均方根误差（实验3）
可以看出，本仿真中部分噪声子空间法的性能已经和全噪声子空间很接近，这是由于噪声子空间由两个特征值对应的向量构成，因此它的稳定性相对仿真实验2中的子空间法有所增强。
因此，在信噪比较高的条件下，以及阵元数较多时，可以采用固定的特征值对应的向量构成噪声子空间进行谱估计，其性能和先进行信源数估计，然后进行谱估计的性能是接近的。但其优点在于能够减少信源数目估计这一环节，同时由于噪声子空间的维数也是固定不变的，因此能够大大减少计算的复杂度，提高时效性。
4 结 语
本文对利用部分噪声子空间进行谱估计的方法进行了阐述，该方法不再需要进行信源数目估计，可以降低系统在实现过程中的复杂度，以及提高谱估计的时效性。最后用计算机仿真进行了对比说明。仿真结果显示，在高信噪比条件下，利用部分噪声子空间进行谱估计的性能和利用全噪声子空间进行谱估计的性能接近，但是其复杂度降低，时效性更好。同时，可以采用某几个最小特征值对应的向量构成噪声子空间的方法，其相对于最小特征值直接构成噪声子空间而言，其稳定性及估计性能有大幅提高。
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